92二重积分的计算法

9.2二重积分的计算法1利用直角坐标计算二重积分小结思考题作业利用极坐标计算二重积分doubleintegral9.2二重积分的计算法第9章重积分9.2二重积分的计算法2本节介绍计算二重积分的方法:二重积分化为累次积分(即两次定积分).9.2二重积分的计算法3(1)积分区域为：,bxa).()(21xyx其中函数、)(1x)(2xb)(2xy)(1xyaD在区间[a,b]上连续.一、利用直角坐标计算二重积分xOyxOy)(1xy)(2xyDba9.2二重积分的计算法4的值等于)0),((d),(yxfyxfD计算截面面积(红色部分即A(x0))＊以D为底,以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法是区间)](),([0201xx曲边的曲边梯形.为底,曲线z=f(x0,y)为xyzO),(yxfzD)(2xy)(0xA)(1xya0xbz=f(x0,y)因为9.2二重积分的计算法5是区间为底,)](),([0201xx曲线z=f(x0,y)为曲边的)(01x],[baxyyxfxAxxd),()()()(21有:DyxfVd),(baxxAd)(＊xbad)d),(()()(21xxyyxf)(02xyyxfxAd),()(00先对y后对x的二次积分称为累次积分.Dyxfd),(baxxyyxfx)()(21d),(dxyzO),(yxfzD)(2xy)(0xA)(1xya0xbz=f(x0,y)曲边梯形.X－型9.2二重积分的计算法6(2)积分区域为：,dyc)()(21yxyD)(2yxcd)(1yxY－型Dyxfd),(先对x后对y的二次积分也即.d),(d)()(21dcyyxyxfyDyxfd),(其中函数、)(1y)(2y在区间[c,d]上连续.xOyxOyD)(2yxcd)(1yxdcyd)d),((xyxf)(1y)(2y9.2二重积分的计算法7特殊地如D是上述矩形域,)()(),(21yfxfyxf且得yxyfxfDdd)()(21即等于两个定积分的乘积.注D为矩形域:则则baxxfd)(1yyfdcd)(2yyfxfdcd)()(21ba(xd)ba(xd)badcxyxfyd),(d)(1xfyyfdcd)(2dycbxa,dcbayyxfxd),(dd),(Dyxf9.2二重积分的计算法8abdc计算结果一样.又是Y型:(3)积分区域D既是X型:,bxa)()(21xyx,dyc)()(21yxy但可作出适当选择.xyO9.2二重积分的计算法9(4)若区域如图,在分割后的三个区域上分别使用D(用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是X型区域则必须分割.321DDDxyO3D2D1D穿过区域且平行于y轴的直线X型区域的特点:与区域边界相交不多于两个交点.穿过区域且平行于x轴的直线Y型区域的特点:与区域边界相交不多于两个交点.积分公式.9.2二重积分的计算法10考研数学一,选择,4分ninjnjninn1122))((limxyyxx0210.d)1)(1(1d)(Axyyxx010.d)1)(1(1d)(B1010.d)1)(1(1d)(Cyyxx10210.d)1)(1(1d)(DyyxxiiniiDfyxf),(limd),(109.2二重积分的计算法11ninin11limnninin111lim1ixixd10)1ln(x.2ln10x11bainiixxfxfd)()(lim109.2二重积分的计算法12xyO例解Dyxyxdd)(2xxxxxxd)](21)([42102.14033积分域既是X型又是Y型22xyyxyyxd)(210dx法一)0,0(),1,1(所围平面闭区域.和是抛物线其中求22,dd)(xyDyxyxD2yx两曲线的交点2xx2xy2yx)1,1(计算二重积分先对y后对x积分.9.2二重积分的计算法13先对x后对y积分Dyxyxdd)(2.1403310dy法二xyxd)(22yyDyxyxdd)(2xyO2xy2yx)1,1(计算二重积分时,适当地选择积分次序小结十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且有时出现能否进行计算的问题.9.2二重积分的计算法14,dd2yxxyyD计算二重积分0,1,xyxy所围成的平面区域.xyO1解yxyyd2其中D是由直线原式=1Dxyxd研究生考题(三,四)7分积分域既是X型又是Y型xxyyd210023d)(32yxyyy原式=102d32yy.92yd01y0不易积分!9.2二重积分的计算法15例yyxxdsind1012siny2对y的积分而它对x的积分交换积分次序的方法是:改写D为:oxy分析所以将二次积分先将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图(3)计算二次积分不能用基本积分法算出,xy)1,1(可用基本积分法算出.交换积分次序.用联立不等式表示D:,10x1yx,10yyx0计算二次积分9.2二重积分的计算法16yyxxdsind1012yxyyd)(sin0102yyydsin1022102dsin21yy).1cos1(21xyydsin0210dyoxyxy)1,1(,10:yDyx09.2二重积分的计算法17)(ded2202yxxy)1e(214xyxoy22解yxxyded2202xyyyded0202yyyde202)(de212202yy).1e(214交换积分次序200de2yxyy9.2二重积分的计算法18凡遇如下形式积分:,dsinxxx,de2xx,lndxx等等,一定要放在后面积分.,dsin2xx,dcos2xx,de2xx,dexxy9.2二重积分的计算法19例交换积分次序:解画出积分区域草图:xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式=10dyy2xyxfd),(211y22xxyxy2xyO12交换积分次序的步骤(1)将已给的二次积分的积分限得出相应的(2)按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图;二重积分的积分区域,交换积分次序9.2二重积分的计算法20二次积分一定能交换次序答:不一定!当f(x,y)在所考虑的区域上连续时,二次积分可以交换积分次序.9.2二重积分的计算法21axy222xaxy22yaax解原式=xyxfd),(交换积分次序:axxaxayyxfx22202d),(d)0(ayday22xyxfd),(22yaa0aa222yaayd0axyxfd),(yda2ay22a2axyOaa2aa2ayx229.2二重积分的计算法22)(d),(dd),(d421221xyxfyyyxfxyyx设函数f(x,y)连续,则考研数学(二),选择4分.d),(d)(A4121yyxfxx.d),(d)(B421yyxfxxx.d),(d)(C4121xyxfyy.d),(d)(D221xyxfyyxOyC12124yx3xy9.2二重积分的计算法23例axaxxfxayyfx000d)()(d)(d左边的累次积分中,积分域可表为提示xayyfx00d)(dayaxyfyd)(d0ayyfya0d)()(定积分与积分变量的记法无关不能具体计算.所以,f(y)是y的抽象函数,)0(a,0axxy0,0ayaxyaayyxyf0d)(证毕.先交换积分次序.axyOa),(aa二重积分与定积分关系的有关证明求证xxx9.2二重积分的计算法24研究生考题(数学一)4分,d)(d)(1xxfytFtyt设f(x)为连续函数,)2(F则等于).2(2)A(f).2()B(f).2()C(f.0)D(xyOyxt1t解xxfytFtytd)(d)(1先交换积分次序.yxfxd)(d11tx1txxxf1)d1)(()1)(()(ttftF222).2()2(fF积分上限的函数9.2二重积分的计算法25求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程.222Rzx解dDyxRd22332R.316831RVVd),(1DyxfV22xRy求所围成的立体的体积.xoyzoxyDR22xR22xR0xd0R22xRz曲顶还有别的做法吗求体积等实际问题例分别为222Rzx立体顶部222Ryx立体底部及222Ryx222Rzx222Ryx9.2二重积分的计算法26某城市受地理限制呈直角三角形分布,解yyxd)1020(14080d),(DyxRL试计算该市总的税收收入.OxyDx43120xd016这是一个二重积分的应用问题,临一条河.斜边和12km,由于交通关系,城市发展不太平衡,这一点可从税收状况反映出来.若以两直角边为坐标轴建立直角坐标系,则位于x轴和y轴上的城市长度各为16km且税收情况与地理位置的关系大体为其中积分区域D11216yx11216yx围成.于是所求总税收收入为(万元).例由x轴、y轴及直线1216)/(1020),(平方千米万元yxyxR9.2二重积分的计算法27)(d),(d1sinπ2π等于yyxfxIx设函数f(x,y)连续,则二次积分考研数学(二)选择4分)A()B()C()D(.d),(dπarcsinπ10xyxfyy.d),(dπarcsinπ10xyxfyy.d),(darcsinπ2π10xyxfyy.d),(darcsinπ2π10xyxfyy9.2二重积分的计算法28例,,010),1(20,1),(其他设xxyyxf).(,dd),()(tFyxyxftFtyx求且分析由被积函数的表达式及积分区域的情况,:)(与三角形区域是区域可知tyxtF10),1(20xxy的公共部分的面积.Oxytyxtt2解,0时当t无公共部分,)(tF,10时当t)(tF21)1(2xy;212t0;9.2二重积分的计算法29.1例,.,010),1(20,1),(其它设xxyyxf).(,dd),()(tFyxyxftFtyx求且,0时当t无公共部分,0;)(tF,10时当t)(tF;212t,21时当t)(tFxttyx020dd)1(2012ddxtyx;1222tt,2时当t)(tF21212Oxytyxtt21)1(2xyt2综上所述,.2,121,1221,10,21,0,0)(22ttttttttF9.2二重积分的计算法30iiiiiiii)2(21iiiii2)(iii两相邻弧半径平均值.i内取圆周上一点其直角坐标,,ii),(iiiii