矩阵可逆性的判定及逆矩阵的求法

[键入公司名称]线性代数论文矩阵可逆性的判定及逆矩阵的求法关键字：可逆矩阵的定义、|A|≠0、ｎ阶方阵、AB=E、r(A)=n、|A|=λ1λ2…λi≠0、齐次方程组、acbdbcad1、初等变换化为单位矩阵、分块矩阵求逆、分解矩阵求逆、递推法机械学院交通运输０７５班韩振坤201007527谭鹏鹏201007528魏亚萌201007529联系方式187038610362矩阵可逆性的判定及逆矩阵的求法矩阵是数学中一个极其重要的应用广泛的概念，它是代数，特别是现性代数的一个主要研究对象。其中逆矩阵又是矩阵理论中一个非常重要的概念，逆矩阵的可逆性及其求法自然也就成为要研究的主要内容之一。本文主要是对课本中关于可逆矩阵判定方法的总结，在阶数较高的矩阵可逆判定、用分块矩阵求逆矩阵、分解矩阵求逆法上略有拓展，另外参考相关资料列出递推法求逆。1、可逆矩阵的定义定义:设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得EBAABn，则称A是可逆矩阵（或称A为非奇异矩阵），B是A的逆矩阵。从这个定义可知，单位矩阵E的可逆矩阵就是其自身。2、矩阵可逆性的判定2.1n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0，且此时*11AAA.此定理判断矩阵可逆很容易，只是求逆矩阵非常的麻烦，适用于求低阶矩（二阶、三阶）的逆矩阵的情况。2.2利用矩阵的初等行变换，若矩阵可化为单位矩阵，则可逆，并可直接求出逆矩阵。此种方法最常用。矩阵A可以化为单位矩阵，所以矩阵A可逆。2.3A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B满足AB=E（或BA=E），，则矩阵A是可逆的，且1A=B、AB1.若要判断A是否可逆，则只要看是否能找到与其乘积等于E的矩阵即可。例2.1矩阵A和B满足A-B=AB，证明EA可逆，并求其逆矩阵。证明：由Ａ－Ｂ=ＡＢ可得Ａ＋Ｅ-Ｂ-ＡＢ=Ｅ，即（Ａ＋Ｅ）－（Ｅ＋Ａ）Ｂ＝Ｅ，于是（EA）（BE）=E.所以EA可逆，且逆矩阵为BE2.4若n阶矩阵的秩为n，即r(A)=n,则矩阵可逆。利用矩阵秩的定义或利用初等行变换将矩阵化为行阶梯型矩阵求其秩，看是否等于矩阵的阶数。3例2.2判断矩阵是否可逆？A=523012101.解：200210101220210101523012101所以R（A）=3，矩阵A可逆。2.5方阵A为可逆矩阵的充要条件是A可以写成初等矩阵的乘积。即A=P1P2…Ps，其中Pi是初等矩阵。2.6A可逆A的行（列）向量组线性无关。2.7A可逆齐次方程组AX=0只有零解。若齐次方程组AX=0只有零解，则r(A)=n，A可逆。2.8A可逆非齐次线性方程组AX=B总有唯一解。2.9n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它的特征值都不等于0.即|A|=λ1λ2…λi≠0，A可逆。此方法将判断矩阵是否可逆转化为求方程的解。例2.3判断矩阵A是否可逆？A=120222023.解：0521120222023EA解得特征值为λ=-1，λ=2，λ=5.因此矩阵A可逆。2.10一类阶数较高矩阵可逆性的判定对于二阶矩阵dcba（1）当bcad时，则可逆，且其逆为acbdbcad1，利用4这一简单结论可简单的判定形如（2）111111abcd一类方阵是否可逆，其中（2）中未标的元素主对角线上全为1，其它元全为0.定理2.10矩阵（2）可逆当且仅当矩阵（1）可逆。证：记矩阵（2）为A，由于111111abcd则有：矩阵（2）可逆00dcbaA矩阵A可逆。3、逆矩阵的求法3.1用定义去求逆矩阵定义3.1设A是一个n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使AB=BA=E，则称A为可逆矩阵，并称B是A的可逆矩阵。例3.1已知n阶矩阵A满足0322EAA。证明A+4E可逆并求出14EA.证明：把0322EAA变形为(A+4E)（EA2）=-5E，可得（A+4E）（EA5251）=E，所以存在一个矩阵B=EA5251，B使（A+4E）B=E。由定义得A+4E可逆，且B14EA=B=EA5251.3.2用初等变换去求逆矩阵如果A可逆，则A可通过初等行变换化为单位矩阵E，即存在相应的初等矩阵1E、2E…sE5使sE…2E1EA＝E（1），用1A又乘上式两端，得sE…2E1EE＝1A（2），比较（1）、（2）两式，可知当A通过行初等变换化为E的同时，对单位矩阵E作同样的初等行变换，就化为A的逆矩阵1A.同样，只要用列的初等变换也可以求逆矩阵。(1)初等行变换如果n阶矩阵A可逆，作一个n2n的矩阵（A，E），然后对此矩阵施以初等行变换，使矩阵A化为单位矩阵E，则同时即化为1A了。即（A，E）（E，1A）(2)初等列变换如果n阶矩阵A可逆，作一个2nn的矩阵EA，然后对此矩阵施以初等列变换，使矩阵A化为单位矩阵E，则同时E化为1A,即EA1AE.(3)混合采用初等行、列变换如果n阶矩阵A可逆，列出三个矩阵如下：E，A，E（E为单位矩阵）。对这三个矩阵施以变换，当对A做一次行变换，便对左边的矩阵E做同样的行变换；每对A做一次列变换，便对右边的矩阵E作同样的列变换。最后可得：P，E，Q,所以1A=QP.用伴随矩阵去求逆矩阵例3.2判断矩阵A是否可逆，A=523012101解：100010001523012101EA1030120012202101012112711521125100010001127012001200210101矩阵A可以化为单位矩阵，所以矩阵A可逆。3.3用伴随矩阵求逆矩阵定理3.3n阶矩阵A=（ija）为可逆的充要条件是A非奇异。且1A=A1112111222212nnnnnnAAAAAAAAA，其中ijA是A中元素ija的代数余子式。矩阵6112111222212nnnnnnAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵，记作*A，于是有1A=A1*A.3.4用分块矩阵去求逆矩阵设A、B分别为p、q阶可逆矩阵，则10BCA＝1110BCBAA，10BDA＝11110BDABA，100BA＝1100BA，100BA＝0011AB.例3.3求矩阵S＝3111522100110012的逆矩阵。解：令A＝1112，B＝3152，D＝1121，所以1A＝21111B＝2153，11DAB＝1173019.故1S＝10BDA＝11110BDABA＝21117533019002100113.5分解矩阵求逆法分解矩阵求逆法，即将已知矩阵分解成两个矩阵之和，然后再求其逆。定理3.5设A为n阶可逆矩阵，且A＝B＋XCY，其中1B已知，C是rr可逆阵，rn，又设1C＋1B可逆，则1A＝1B－1BX111XYBCY1B.（１）例3.4求矩阵A=5543264432653326655442321的逆矩阵。7解：A=11111+6543265432654326655443322=11111+11111111115432111111=B+X2EY由公式得：1A=19113543261443265153266554416327特别的，当X是nl,Y是1n，且C=（1）时，公式（1）就变成了1A=1B-XYB1111BX1B3.6特征多项式法定理3.6设A是nn矩阵，A可逆存在常数项不为0的多项式g（x），使g(A)=0.使|λＥ－Ａ|＝０，得出Ａ的特征值λ1、λ2、…λi，则有对角阵^＝ｄｉａｇ（λ1，λ2，…λi）＝０，有可逆矩阵P、Q，使P¯¹AP=^，则有A¯¹=Q¯¹^¯¹Q.3.7递推法递推法利用n阶可逆矩阵的n-1阶矩阵的逆来递推得到原矩阵的逆。引理3.7任何一个m+1阶可逆方阵都可以只通过行列互换初等变换化为左上角为m阶可逆块的方块方阵形式，即对任意m+1阶可逆方阵1mA，存在互换初等矩阵iP（1iP=iP）（i=1,2,…,n）使得1P2P…jP1mA1jP…nP=mmmmbB，其中，mB为m阶可逆方阵，m为m×1阶矩阵，m为1×m阶矩阵，mb=11mmb，于是11mA=jP…2P1P1mmmmbBnP…1jP.证明：由1mA可逆知，至少有一个m阶子式不为零，于是可以只通过行列的互换变换将8此子式对应的矩阵换到左上角，得到新矩阵mmmmbB形式，即存在互换初等矩阵iP（1iP=iP）（i=1,2,…,n）使得1P2P…jP1mA1jP…nP=mmmmbB，其中，mB、m、m、mb如条件所设，于是根据互换初等矩阵性质1iP=iP即可得到定理后半部分结论。根据引理3.7,只需要考虑左上角的m阶分块为可逆矩阵的m+1阶可逆方阵1mA.引理3.8设m+1阶可逆方阵1mA=（ija）=mmmmaA，其中mA为m阶可逆方阵，m为m×1阶矩阵，m为1×m阶矩阵，ma=1,1mma，则ma-ma1mAm0.例3.5求矩阵A的逆矩阵，其中A=165283141.解：11A=（1），且2A=8341=-40，于是1=（-3），1=（-4），1c=（-4），所以12A=0001-4113412=411348；又2=-41（-58，26），2=-4110，2c=-21，所以11A=00004143012+（-2）121322941813829000=21329213213012.最后给出右下角为m+1阶可逆矩阵的1mA逆矩阵的递推公式。本文中判定可逆矩阵的方法有定义法(AB=E)、经初等变换化为单位矩阵判定可逆性、行列式|A|≠0、r(A)=n、|A|=λ1λ2…λi≠0、A=P1P2…Ps(Pi是初等矩阵)、A的行（列）向量组线性无关、非齐次线性方程组AX=B总有唯一解；上述中的判定定理都求逆矩阵，另外，逆矩阵的求法还有特征多项式法、分块矩阵求逆、分解矩阵求逆、递推法。限于知识水平，对于可逆矩阵的相关知识文中列出的很有限。