平面向量数量积运算专题(附答案解析)

平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE→·AF→＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA→·PB→的最小值为()A.－4＋2B.－3＋2C.－4＋22D.－3＋22变式训练1(2015·湖北)已知向量OA→⊥AB→，|OA→|＝3，则OA→·OB→＝________.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2(1)(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝223|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.π4B.π2C.3π4D.π(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于π3，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值等于()A.126B.－126C.112D.－112变式训练2(2014·课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________.题型三利用数量积求向量的模例3(1)已知平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为120°，则|2a＋b|等于()A.2B.4C.25D.6(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________.变式训练3(2015·浙江)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→·CD→等于()A.－32a2B.－34a2C.34a2D.32a22.(2014·浙江)记max{x，y}＝x，x≥y，y，xy，min{x，y}＝y，x≥y，x，xy，设a，b为平面向量，则()A.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C.max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D.max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|23.(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|PA→＋PB→＋PC→|的最大值为()A.6B.7C.8D.94.如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，设OA→＝a，OB→＝b，OP→＝p，则p·(b－a)等于()A.－12B.12C.－32D.325.在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1→|＝|OB2→|＝1，AP→＝AB1→＋AB2→.若|OP→|12，则|OA→|的取值范围是()A.(0，52]B.(52，72]C.(52，2]D.(72，2]6.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°且AC＝BC＝4，点M满足BM→＝3MA→，则CM→·CB→等于()A.2B.3C.4D.67.(2014·安徽)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()A.2π3B.π3C.π6D.08.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP→＝3PD→，AP→·BP→＝2，则AB→·AD→的值是________.9.设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acosθ－bsinθ.若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝32，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________.10.如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈AB→，AC→〉＝60°，则|OA→|＝________.11.已知向量a＝(sinx，34)，b＝(cosx，－1).当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；12.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足AD→＝511DB→.(1)求|AB→－AC→|；(2)存在实数t≥1，使得向量x＝AB→＋tAC→，y＝tAB→＋AC→，令k＝x·y，求k的最小值.平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE→·AF→＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA→·PB→的最小值为()A.－4＋2B.－3＋2C.－4＋22D.－3＋22答案(1)2(2)D解析(1)如图，AE→·AF→＝(AB→＋BE→)·(AD→＋DF→)＝(AB→＋13BC→)·(AD→＋1λDC→)＝AB→·AD→＋1λAB→·DC→＋13BC→·AD→＋13λBC→·DC→＝2×2×cos120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23，又∵AE→·AF→＝1，∴103λ－23＝1，∴λ＝2.(2)方法一设|PA→|＝|PB→|＝x，∠APB＝θ，则tanθ2＝1x，从而cosθ＝1－tan2θ21＋tan2θ2＝x2－1x2＋1.PA→·PB→＝|PA→|·|PB→|·cosθ＝x2·x2－1x2＋1＝x4－x2x2＋1＝x2＋2－x2＋＋2x2＋1＝x2＋1＋2x2＋1－3≥22－3，当且仅当x2＋1＝2，即x2＝2－1时取等号，故PA→·PB→的最小值为22－3.方法二设∠APB＝θ，0θπ，则|PA→|＝|PB→|＝1tanθ2.PA→·PB→＝|PA→||PB→|cosθ＝(1tanθ2)2cosθ＝cos2θ2sin2θ2·(1－2sin2θ2)＝－sin2θ2－2sin2θ2sin2θ2.令x＝sin2θ2，0x≤1，则PA→·PB→＝－x－2xx＝2x＋1x－3≥22－3，当且仅当2x＝1x，即x＝22时取等号.故PA→·PB→的最小值为22－3.方法三以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，则圆O的方程为x2＋y2＝1，设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，P(x0,0)，则PA→·PB→＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝x21－2x1x0＋x20－y21.由OA⊥PA⇒OA→·PA→＝(x1，y1)·(x1－x0，y1)＝0⇒x21－x1x0＋y21＝0，又x21＋y21＝1，所以x1x0＝1.从而PA→·PB→＝x21－2x1x0＋x20－y21＝x21－2＋x20－(1－x21)＝2x21＋x20－3≥22－3.故PA→·PB→的最小值为22－3.点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b＝0时得不到a＝0或b＝0，根据平面向量数量积的性质有|a|2＝a2，但|a·b|≤|a|·|b|.变式训练1(2015·湖北)已知向量OA→⊥AB→，|OA→|＝3，则OA→·OB→＝________.答案9解析因为OA→⊥AB→，所以OA→·AB→＝0.所以OA→·OB→＝OA→·(OA→＋AB→)＝OA→2＋OA→·AB→＝|OA→|2＋0＝32＝9.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2(1)(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝223|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.π4B.π2C.3π4D.π(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于π3，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值等于()A.126B.－126C.112D.－112答案(1)A(2)B解析(1)由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝223|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，∴83|b|2－223|b|2·cosθ－2|b|2＝0.∴cosθ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.(2)记向量2a－b与a＋2b的夹角为θ，又(2a－b)2＝4×22＋32－4×2×3×cosπ3＝13，(a＋2b)2＝22＋4×32＋4×2×3×cosπ3＝52，(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝8－18＋9＝－1，故cosθ＝a－ba＋2b|2a－b|·|a＋2b|＝－126，即2a－b与a＋2b的夹角的余弦值是－126.点评求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练2(2014·课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________.答案90°解析∵AO→＝12(AB→＋AC→)，∴点O是△ABC中边BC的中点，∴BC为直径，根据圆的几何性质得AB→与AC→的夹角为90°.题型三利用数量积求向量的模例3(1)已知平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为120°，则|2a＋b|等于()A.2B.4C.25D.6(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________.答案(1)A(2)5解析(1)因为平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为120°，所以|2a＋b|＝a2＋b2＋2×|2a|×|b|cos120°＝22×12＋22＋2×2×1×2×－12＝2.(2)方法一以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA→＝(2，－x)，PB→＝(1，a－x)，∴PA→＋3PB→＝(5,3a－4x)，|PA→＋3PB→|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|PA→＋3PB→|的最小值为5.方法二设DP→＝xDC→(0x1)，∴PC→＝(1－x)DC→，PA→＝DA→－DP→＝DA→－xDC→，PB→＝PC→＋CB→＝(1－x)DC→＋12DA→，∴PA→＋3PB→＝52DA→＋(3－4x)DC→，|PA→＋3PB→|2＝254DA→2＋2×52×(3－4x)DA→·DC→＋(3－4x)2·DC→2＝25＋(3－4x)2DC→2≥25，∴|PA→＋3PB→|的最小值为5.点评(1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a＝(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|＝x2＋y2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化：|a|＝a2.变式训练3(2015·浙江)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.答案233解析因为|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝12.所以e1与e2的夹角为60°.又因为b·e1＝b·e2＝1，所以b·e1－b·e2＝0，即b·(e1－e2)＝0，所以b⊥(e1－e2).所以b与e1的夹角为30°，所以b·e1＝|b|·|e1|cos30°＝1.所以|b|＝