第二章例题

信号与系统电子教案©西安电子科技大学电路与系统教研中心第16-1页■第二章连续系统的时域分析2.1LTI连续系统的响应2.3卷积积分点击目录，进入相关章节2.2冲激响应和阶跃响应2.4卷积积分的性质返回目录信号与系统电子教案©西安电子科技大学电路与系统教研中心第16-2页■解:(1)特征方程为λ2+5λ+6=0其特征根λ1=–2，λ2=–3。齐次解为yh(t)=C1e–2t+C2e–3t由表2-2可知，当f(t)=2e–t时，其特解可设为yp(t)=Pe–t将其代入微分方程得Pe–t+5(–Pe–t)+6Pe–t=2e–t解得P=1于是特解为yp(t)=e–t全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t其中待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥02.1LTI连续系统的响应例：描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求（1）当f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1时的全解；（2）当f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0时的全解。信号与系统电子教案©西安电子科技大学电路与系统教研中心第16-3页■（2）齐次解同上。当激励f(t)=e–2t时，其指数与特征根之一相重。由表知：其特解为yp(t)=(P1t+P0)e–2t代入微分方程可得P1e-2t=e–2t所以P1=1但P0不能求得。全解为y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+P0e–2t=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+te–2t将初始条件代入，得y(0)=(C1+P0)+C2=1，y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得C1+P0=2,C2=–1最后得微分方程的全解为y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。2.1LTI连续系统的响应信号与系统电子教案©西安电子科技大学电路与系统教研中心第16-4页■二、关于0-和0+初始值若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t=0+时刻的初始值或初始条件，即y(j)(0+)(j=0,1,2…，n-1)。而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关，称这些值为初始状态或起始值。通常，对于具体的系统，初始状态y(j)(0-)一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。2.1LTI连续系统的响应信号与系统电子教案©西安电子科技大学电路与系统教研中心第16-5页■例：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)（1）利用系数匹配法分析：上式在t=0-也成立，在0-t0+区间等号两端δ(t)项的系数应相等。由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而y’(t)在t=0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于y’(t)含阶跃函数，故y(t)在t=0处是连续的。故y(0+)=y(0-)=22.1LTI连续系统的响应解：信号与系统电子教案©西安电子科技大学电路与系统教研中心第16-6页■对式(1)两端积分有0000000000)(6)(2)(2)('3)(''dttdttdttydttydtty由于积分在无穷小区间[0-，0+]进行的，且y(t)在t=0连续，故00000)(,0)(dttdtty于是由上式得[y’(0+)–y’(0-)]+3[y(0+)–y(0-)]=2考虑y(0+)=y(0-)=2，所以y’(0+)–y’(0-)=2，y’(0+)=y’(0-)+2=22.1LTI连续系统的响应认真研读课本44页例2.1-3。信号与系统电子教案©西安电子科技大学电路与系统教研中心第16-7页■三、零输入响应和零状态响应2.1LTI连续系统的响应通常我们研究的是线性连续因果时不变系统。tytytyzszi其全响应解为：tytytyjzsjzij用经典法求解零输入响应和零状态响应时，需用响应及其各阶导数的初始值，用以确定系数Czii和Czsi。y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)信号与系统电子教案©西安电子科技大学电路与系统教研中心第16-8页■对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值yzi(j)(0+),yzs(j)(0+)(j=0，1，2，…，n-1)的计算：初始值计算方法：000jzsjzijyyy000jzsjzijyyy0+时刻：0-时刻：信号与系统电子教案©西安电子科技大学电路与系统教研中心第16-9页■对于零输入响应，由于激励为零，且为因果线性时不变系统，内部参数不随时间而变，故有：000zijjjziyyy对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有：00jzsy的求法下面举例说明。0jzsy000jzsjjyyy信号与系统电子教案©西安电子科技大学电路与系统教研中心第16-10页■例：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。解：（1）零输入响应yzi(t)激励为0，故yzi(t)满足yzi”(t)+3yzi’(t)+2yzi(t)=0yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=2yzi’(0+)=yzi’(0-)=y’(0-)=0该齐次方程的特征根为–1，–2，故yzi(t)=Czi1e–t+Czi2e–2t代入初始值并解得系数为Czi1=4,Czi2=–2，代入得yzi(t)=4e–t–2e–2t,t02.1LTI连续系统的响应信号与系统电子教案©西安电子科技大学电路与系统教研中心第16-11页■（2）零状态响应yzs(t)满足yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=2δ(t)+6ε(t)并有yzs(0-)=yzs’(0-)=0（因激励f(t)还未加入）由于上式等号右端含有δ(t)，故yzs”(t)含有δ(t)，从而yzs’(t)在t=0处有跃变，即yzs’(0+)≠yzs’(0-)，而yzs(t)在t=0连续，即yzs(0+)=yzs(0-)=0，积分得[yzs’(0+)-yzs’(0-)]+3[yzs(0+)-yzs(0-)]0000d)(62d)(2ttεttyzs因此，yzs’(0+)=2+yzs’(0-)=2对t0时，有yzs”(t)+3yzs’(t)+2yzs(t)=6不难求得其齐次解为Czs1e-t+Czs2e-2t，其特解为常数3，于是有yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3代入初始值求得yzs(t)=–4e-t+e-2t+3，t≥02.1LTI连续系统的响应信号与系统电子教案©西安电子科技大学电路与系统教研中心第16-12页■例1描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。根据h(t)的定义有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ(t)h’(0-)=h(0-)=0先求h’(0+)和h(0+)。解：因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。积分得[h’(0+)-h’(0-)]+5[h(0+)-h(0-)]+6=100)(dtth2.2冲激响应和阶跃响应信号与系统电子教案©西安电子科技大学电路与系统教研中心第16-13页■2.2冲激响应和阶跃响应考虑h(0+)=h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0,h’(0+)=1+h’(0-)=1对t0时，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0故系统的冲激响应为一齐次解。微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)ε(t)代入初始条件求得C1=1,C2=-1,所以h(t)=(e-2t-e-3t)ε(t)[h’(0+)-h’(0-)]+5[h(0+)-h(0-)]+6=100)(dtth信号与系统电子教案©西安电子科技大学电路与系统教研中心第16-14页■一般，若n阶微分方程的等号右端只含激励f(t)，即若：)()()()(0)1(1)(tftyatyatynnn则当f(t)=δ(t)时，其零状态响应（即冲击响应h(t)）满足方程：1,,2,1,0,0)0()()()()()(0)1(1)(njhtthathathjnnn可推得各0+初始值为：2,,2,1,0,0)0(1)0()()1(njhhjn如果上述微分方程特征根λi均为单根，则其冲激响应为：teCthnitii1)(式中各常数Ci由0+初始值确定。2.2冲激响应和阶跃响应为什么？信号与系统电子教案©西安电子科技大学电路与系统教研中心第16-15页■一般而言，若描述LTI系统的n阶微分方程为：)()()()()()(0)1(1)(0)1(1)(tfbtfbtfbtyatyatymmmmnnn求解系统的冲激响应h(t)可分两步进行：1、选新变量y1(t)，使他满足的微分方程为左端与上式相同，而右端只含f(t)，即y1(t)满足方程：)()()()(10)1(11)(1tftyatyatynnn求出上式系统的冲激响应h1(t)。2、根据LTI系统零状态响应的线性性质和微分特性，可得该系统的冲激响应：)()()()(10)1(11)(1thbthbthbthmmmm2.2冲激响应和阶跃响应认真研读课本P54页例2.2-2。信号与系统电子教案©西安电子科技大学电路与系统教研中心第16-16页■例2描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f”(t)+2f’(t)+3f(t)求其冲激响应h(t)。（认真研读课本P54页例2.2-2。）解根据h(t)的定义有：h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)(1)h’(0-)=h(0-)=0先求h’(0+)和h(0+)。由方程可知，h(t)中含δ(t)故令h(t)=aδ(t)+p1(t)[pi(t)为不含δ(t)的某函数]h’(t)=aδ’(t)+bδ(t)+p2(t)h”(t)=aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+p3(t)代入式(1)，有2.2冲激响应和阶跃响应信号与系统电子教案©西安电子科技大学电路与系统教研中心第16-17页■aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+p3(t)+5[aδ’(t)+bδ(t)+p2(t)]+6[aδ(t)+p1(t)]=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)整理得aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c+5b+6a)δ(t)+p3(t)+5p2(t)+6p1(t)=δ”(t)+2