有限元方法(有FORTRAN程序)飞箭系列

FEPG参考手册基于FEPG的有限元方法北京飞箭软件有限公司2003年3月前言本教材的目的是为了帮助FEPG系统的用户更好地理解和掌握该系统，从有限元方法原理，从有限元软件的程序结构和数据结构，从有限元的输入数据形式，以及软件设计方法等方面对系统进行具体阐述。众所周知，有限元方法是结构力学家发明的，其基本原理是基于变分法与分片插值多项式两项技术，但是有限元技术的推广与研究的深入使得今天的有限元方法已突破了这两项技术的范围。例如，为了把有限元方法应用于非结构力学领域，如流体力学领域，人们不得不采用虚位移原理即“弱形式”取代变分原理，为了求解无界区域问题或者奇点问题，采用非多项式的形函数（基函数）将具有更好的精度，因此形函数不得不突破分片插值多项式的限制。FEPG系统是基于虚位移原理（即弱形式）而不是变分原理，要求用户书写弱形式的微分方程表达式，因此本教材的第一章通过对不同领域的微分方程表达式推导其弱形式，让用户对微分方程弱形式的推导有一般性的了解，但是一个好的弱形式可能是专家经过多年的研究后取得的成果，并不是轻而易举就可得到的。教材的第二章给出各种常用的分片插值多项式形函数表达式及其推导的一般性方法，但本系统允许用户使用非多项式形函数。第三章给出本系统有限元程序所需的输入数据的一般形式。第四章论述了FEPG系统的有限元计算程序结构，并给出全部FORTRAN源程序及其详细的说明。目录第一章偏微分方程的“弱”形式——虚位移原理§1.1偏微分方程的弱解形式……………………………………………11.1.1问题的提出……………………………………………………………11.1.2偏微分方程弱解的积分形式---虚位移原理…………………………2§1.2稳态问题弱解的积分形式…………………………………………21.2.1分部积分公式…………………………………………………………31.2.2二维稳态热传导问题的“弱”形式……………………………………41.2.3三维线弹性小变形静态问题的“弱”形式……………………………61.2.4三维稳态渗流问题的“弱”形式……………………………………111.2.5二维粘性不可压缩流体稳态Navier_Stokes方程的“弱”形式…141.2.6三维静电场问题的“弱”形式………………………………………161.2.7三维柱坐标静电场问题的“弱”形式………………………………18§1.3瞬态问题的“弱”形式……………………………………………191.3.1三维线弹性小变形动态问题的“弱”形式…………………………201.3.2三维瞬态热传导问题的“弱”形式…………………………………231.3.3二维粘性不可压缩流体瞬态Navier_Stokes方程的“弱”形式…25§1.4求解解梯度的最小二乘法………………………………………271.4.1已知位移求应力………………………………………………………281.4.2已知温度求热流密度…………………………………………………291.4.3已知电势求电场强度…………………………………………………30第二章分片多项式的形函数§2.1插值函数与单元类型………………………………………………312.1.1一维Lagrange单元…………………………………………………312.1.2二维单元……………………………………………………………332.1.3三维单元……………………………………………………………38§2.2等参单元………………………………………………………………432.2.1导数之间的变换………………………………………………………46§2.3数值积分………………………………………………………………492.3.1高斯积分……………………………………………………………492.3.2节点积分……………………………………………………………51第三章有限元输入数据形式§3.1FEPG系统的有限元输入数据组成简述………………………543.1.1输入数据形式…………………………………………………………543.1.2输入数据框图…………………………………………………………543.1.3表格文件的读写格式…………………………………………………55§3.2单场问题的有限元输入数据……………………………………553.2.1坐标数据表格…………………………………………………………553.2.2节点规格数表格………………………………………………………553.2.3指定节点位移和节点荷载信息表格…………………………………563.2.4初始值表格……………………………………………………………563.2.5单元信息数据…………………………………………………………57§3.3有限元输入数据的显示和查询………………………………58§3.4FEPG系统的PRE文件……………………………………………583.4.1线性的、与时间无关的问题……………………………………………583.4.2非线性、依赖时间问题…………………………………………………62§3.5多场问题的有限元输入数据……………………………………683.5.1场的命名约定…………………………………………………………683.5.2多场问题举例说明……………………………………………………69第四章有限元方法的源程序§4.1有限元程序结构与元件化程序设计方法……………………764.1.1程序结构………………………………………………………………764.1.2元件化程序设计方法…………………………………………………764.1.2.1线性稳态有限元问题……………………………………………774.1.2.2线性动态有限元问题……………………………………………784.1.2.3非线性稳态有限元问题…………………………………………794.1.2.4非线性动态有限元问题…………………………………………79§4.2元件程序的结构………………………………………………………814.2.1START元件程序…………………………………………………………814.2.1.1功能………………………………………………………………824.2.1.2命令行参数说明…………………………………………………824.2.1.3参数及数组说明…………………………………………………834.2.1.4源程序……………………………………………………………834.2.1.5Fortran源程序…………………………………………………884.2.2BFT元件程序……………………………………………………………894.2.2.1功能………………………………………………………………894.2.2.2命令行参数说明…………………………………………………904.2.2.3参数及数组说明…………………………………………………904.2.2.4源程序……………………………………………………………914.2.2.5Fortran源程序…………………………………………………944.2.3E元件程序………………………………………………………………964.2.3.1功能……………………………………………………………964.2.3.2命令行参数说明…………………………………………………974.2.3.3参数及数组说明…………………………………………………974.2.3.4源程序……………………………………………………………984.2.3.5Fortran源程序………………………………………………1074.2.4SOLV求解器……………………………………………………………1094.2.4.1功能……………………………………………………………1094.2.4.2命令行参数说明………………………………………………1094.2.4.3源程序…………………………………………………………109A.直接法求解…………………………………………………109B.迭代法求解…………………………………………………1194.2.4.4Fortran源程序………………………………………………1294.2.5U元件程序……………………………………………………………1314.2.5.1功能……………………………………………………………1314.2.5.2命令行参数说明………………………………………………1314.2.5.3参数及数组说明………………………………………………1324.2.5.4源程序…………………………………………………………1324.2.5.5.Fortran源程序………………………………………………134FEPG中级教程第一章偏微分方程的“弱”形式——虚位移原理§1.1偏微分方程的弱解形式1.1.1问题的提出工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的偏微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u应满足偏微分方程组,0)()()(21内）（在Ω==MuAuAuA(1.1.1)Ω域可以是体积域、面积域等，如图1.1.1所示。同时未知函数u还应满足边界条件上）（在Γ==0)()()(21MuBuBuB(1.1.2)Γ是域的边界。Ωy0)(=uBΓ0xΩ域0)(=uA图1.1.1要求解的未知函数可以是标量函数场(例如温度)，也可以是几个变量组成的向量函数场(例如位移、应变、应力等)。是表示对于独立变量(例如空间坐标、时间坐标等)的微分算子。偏微分方程数应和未知场函数的数目相对应，因此，上述偏微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。所以在式(1.1.1)和(1.1.2)中采用了矩阵形式。uBA,对于工程或物理学中遇到的偏微分方程一般是没有理论解的，即未知函数没有解析表达式。而工程上又需要了解这些未知函数，所以我们一般用数值的方法来求解这些偏微分方程。有限元方法就是一种数值求解偏微分方程的方法，它实-1-FEPG中级教程际上求解的是偏微分方程的弱解积分形式，所以我们需要先将偏微分方程变成其弱解积分形式，才能使用有限元方法。1.1.2偏微分方程弱解的积分形式---虚位移原理由于偏微分方程组(1.1.1)在域Ω中每一点为零，因此就有0))()(()(2211≡Ω++≡Ω∫∫ΩΩduAvuAvduAVTL(1.1.5)其中V(1.1.6)=M21vvV是向量函数，我们称为试验函数或虚位移函数，它是一组和偏微分方程个数相等的任意函数。我们称式(1.1.5)是偏微分方程组(1.1.1)的积分形式。假如是一光滑函数，我们可以断言，若积分方程(1.1.5)对于任意的V都能成立，则偏微分方程(1.1.1)必然在域内任一点都得到满足。这个结论的证明是显然的，假如在域内某些点或—部分子域中不满足，即出现)(uA)(uA0)(≠uA)(uA，马上可以找到适当的函数V使(1.1.5)的积分形式亦不等于零。可见当是一光滑函数时，式（1.1.5）和（1.1.1）是等价的。但在很多情况下，比如三维时谐电磁场问题中，两者并不等价。在很多情况下可以对(1.1.5)式进行分部积分得到另一种形式0)()()()(=Γ+Ω∫∫ΓΩduFvEduDvCTT(1.1.7)其中C，D，E，F是微分算子，它们中所包含的未知函数导数的阶数较(1.1.5)式的微分算子低，这样对函数只需要求较低阶的连续性就可以了。在(1.1.7)式中降低u的连续性要求是以提高Auv的连续性要求为代价的，由了原来对v(在(1．1．5)式中)并无连续性要求，但是适当提高对其连续性的要求并不困难，因为它们是可以选择的已知函数。这种降低对函数u连续性要求的作法在近似计算中，尤其是在有限元方法中是十分重要的。我们称式(1.1.7)是偏微分方程组(1.1.1)的弱解积分形式或“弱”形式，或称之为虚位移原理。在使用有限元方法求解前，还需要将(1.1.2)中的边界条件代入(1.1.7)中。§1.2稳态问题弱解的积分形式偏微分方程一般可分为未知函数与时间有关的瞬（动）态问题和未知函