高中数学必修三1.3三角函数的诱导公式

yOxαP(x,y)α的终边P(x,y)α的终边αyOx任意角的三角函数的定义xrMyMxryyOxαP(x,y)α的终边P(x,y)α的终边αyOxxrMyMxrysinyrcosxrtanyx222rxy复习回顾三角函数的诱导公式一:Zkk,sin2sinZkk,cos2cosZkk,tan2tan实质：终边相同，三角函数值相等用途：可将任意角的三角函数化到[0,2π）的三角函数。给定一个角α(1)终边与角α的终边关于原点对称的角与α有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?探究+αyαxOP(x,y)π𝑷,(-x,-y)公式二sin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanα单位圆(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?sin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα公式三yαxOP(x,y)-α𝑷,(x,-y)单位圆(3)终边与角α的终边关于y轴对称的角与α有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?yαxOP(x,y)𝑷,(-x,y)απ-αsin(π-α)=sinαcos(π-α)=－cosαtan(π-α)=－tanα公式四单位圆公式二sin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanαsin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα公式三sin(π-α)=sinαcos(π-α)=－cosαtan(π-α)=－tanα公式四α+k·2π(k∈Z),－α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.sin(k∙2π+α)=sinαcos(k∙2π+α)=cosαtan(k∙2π+α)=tanα（k∈𝒁）公式一函数名不变，符号看象限（将α看成锐角）诱导公式归纳•公式一，二，三，四都叫做诱导公式。•简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀。•概括如下：的三角函数值等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。2(),,kkZ练习将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上131cos______;2sin1______;93sin______;4cos706______.54cos9sin1sin5cos7016例1:求三角函数值:002040cos4);316sin(3;311sin2;225cos12245cos)45180cos(225cos)1(:解233sin)34sin(311sin)2(233sin)35sin(316sin)316sin(32160cos)60180cos(120cos)1203606cos(2040cos)2040cos(400000000典例品味)65sin(,31)6sin(:1)65cos(,31)6cos(:2挖掘角的相互关系，寻求诱导公式的应用互补关系能力提升利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角函数,一般可按下面步骤进行:任意负角的三角函数任意正角的三角函数用公式三或一锐角三角函数用公式二或四0～2π的角的三角函数用公式一)180cos()180sin()360sin()180cos()180cos()180sin()360sin()180cos(解：例2:化简:1)cos(sinsin)cos()180(cos)180(sinsincos)180cos()180sin(sincos典例品味课堂练习53)7cos(,21、已知,求。的值)3sin(2、已知,α是第四象限角,则的值是_______.53)sin()2cos(的值cos-cossin3sin2求),(cos)3(sin2、已知3224、在△ABC中，求证：（1）cos(A+B)=-cosC，（2）sin(A+B)=sinC.【总一总★成竹在胸】)2cos()2sin(kk)cos()sin(cossin公式一：公式二:公式三:公式四:cossincossin)cos()sin(cossin)cos()sin()2tan(k)tan(tantantan)tan(tan)tan(三角函数的诱导公式:•简记成“函数名不变，符号看象限”的口诀。（k𝜖𝑍）(4)终边与角α的终边关于直线y=x对称的角与α有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?yαxOy=xP(x,y)2𝑷,(y,x)sincos,2cossin.2公式五单位圆sincos,2cossin.2公式六如何求的三角函数值？2𝝅𝟐−（−𝜶）𝝅𝟐+𝜶=sincos,2cossin.2公式五sin)2cos(cos)2sin(公式六:公式五:sin)2cos(cos)sin(2的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.2公式五和公式六实现了正弦函数和余弦函数的相互转化.公式一～公式六叫做诱导公式函数名改变，符号看象限（将α看成锐角）3sin()cos23cos()sin21、求证：(1)(2)典例品味例3、证明：注：这四个也是公式，与公式五和公式六是一体！𝟑𝒔𝒊𝒏𝟑𝝅𝟐+𝜶=−𝒄𝒐𝒔𝜶𝟒cos𝟑𝝅𝟐+𝜶=sin𝜶sincos,2cossin.2公式五sincos,2cossin.2公式六)3cos(,31)6sin(:1)4sin(,31)4cos(:2挖掘角的相互关系，寻求诱导公式的应用互余关系能力提升公式二：tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk公式一：公式三：tan)tan(cos)cos(sin)sin(公式四：tan)tan(cos)cos(sin)sin(公式五：sin)2cos(cos)2sin(公式六：sin)2cos(cos)2sin(口诀：奇变偶不变，符号看象限意义：212kkZkk（）的三角函数值）当为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号；）当为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号；【总一总★成竹在胸】口诀：奇变偶不变，符号看象限例4:化简：)29)sin(-)sin(--)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(2解：)2sin(sin)cos(cos)2cos(sin)211cos()2(6cos)]2(cos[sin)29)sin(-)sin(--)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(2)cos()3sin()sin()29sin(cossinsincoscossinsin)cos()sin)(sin)(cos)(sin(原式tan)2cos()2sin(25sin2cos)1(例5、化简下列各题:23cos25sin4cos3sin2cos2sin233口诀：奇变偶不变，符号看象限)32sin(232,31)6cos(.1，则课堂练习的值是则在第四象限，)23sin(,54)2cos(.254.53.53.53.DCBA　　　√𝟏𝟑3.已知,α为第三象限角,求的值31)75cos(0)15sin()15cos(00课堂练习的值求0202020289sin88sin2sin1sin45.已知cosα+𝛽=𝟏，sin𝛼=13，求sin𝛽.4.提示：𝜶+𝜷=k∙𝟐𝝅+𝟎𝟖𝟗𝟐−𝟏𝟑𝟏−𝟐𝟐𝟑•1．由一个角的一个三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围．•2.注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角代换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号．总结规律诱导公式22k2322nn为偶数2nn为奇数奇变偶不变符号看象限