东北大学离散数学复习总结(满分版)

方法、知识点总结（知识重点和考题重点）前三章重点内容（知识重点）：1、蕴含（条件）“→”的真值P→Q的真值为假，当且仅当P为真，Q为假。2、重言(永真)蕴涵式证明方法1假设前件为真，推出后件也为真。2假设后件为假，推出前件也为假。易错3、等价公式和证明中运用4、重要公式重言蕴涵式：P∧Q=PorQPorQ=p∨QA-B=(A∧or∨C)-(B∧or∨C)其他是在此基础上演变等价公式：幂等律P∧P=PP∨P=P吸收律P∧(P∨Q)=PP∨(P∧Q)=P同一律P∨F=PP∧T=PP∨T=TP∧F=FP-Q=(P-Q)∧(Q-P)=(P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q)5、范式的写法（最方便就是真值表法）6、派遣人员、课表安排类算法：第一步：列出所有条件，写成符号公式第二步：用合取∧连接第三步：求上一步中的析取范式即可7、逻辑推理的写法直接推理论证：其中I公式是指重言蕴涵式那部分其中E公式是指等价公式部分条件论证:形如~,~,~=R-SRP(附加条件)......STR-SCP8、谓词基本内容注意：任意用—连接存在用∧连接量词的否定公式量词的辖域扩充公式量词分配公式其他公式9、带量词的公式在论域内的展开10、量词辖域的扩充公式11、前束范式的写法给定一个带有量词的谓词公式，1)消去公式中的联接词→和←→(为了便于量词辖域的扩充)；2)如果量词前有“﹁3)用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则对变元换名(为量词辖域扩充作准备)；4)用量词辖域扩充公式提取量词，使之成为前束范式形式。简要概括：1、去-，-2、移﹁3、换元4、量词辖域扩充12、谓词演算的推理理论推理规则：P、T、CP、US、ES、EG、UG的使用ESUS去量词EGUG添量词★谨记：ES要在US之前,很重要添加量词注意事项：13、集合的幂集（用P表示，也常有花P表示）A是集合，由A的所有子集构成的集合，称之为A的幂集。记作P(A)或2的A次方给定有限集合A，如果|A|=n,则|P(A)|=2的n次方14、求集合的划分数与等价关系数——相同15、三种重要集合运算一、差运算-(相对补集)二、绝对补集~三、对称差前三章重点内容（考题重点）：最常考内容和方法需要看自己课件，前三章考试内容不多且简单1、命题符号化（包括第一章简单的命题和第二章谓词的命题）2、逻辑推理（命题逻辑和谓词逻辑两种推理，每章书最后部分）3、主析取范式与主合取范式（命题逻辑和谓词逻辑中的两种范式写法）4、真值的判断后五章重点内容（知识重点）：1、笛卡尔积定义:设A、B是集合，由A的元素为第一元素，B的元素为第二元素组成序偶的集合，称为A和B的笛卡尔积，记作A×B如果A、B都是有限集，且|A|=m,|B|=n，则|AXB|=mn.2、域的表示：定义域dom（关系的第一个元素的范围）值域Ran（关系的第二个元素的范围）3、空关系、完全关系、A上的恒等关系IA的定义空关系只有点，没有一条边。4、关系的个数5、对称、反对称、自反、反自反、传递的判定6、等价关系、等价类定义：设R是A上关系,若R是自反的、对称的和传递的，则称R是A中的等价关系等价关系的个数：划分数；由等价关系图求等价类：R图中每个独立子图上的结点，构成一个等价类。不同的等价类个数=独立子图个数7、相容关系、相容类特点：自反、对称。图的简化：⑴不画环；⑵两条对称边用一条无向直线代替相容类：设r是集合X上的相容关系，CX,如果对于C中任意两个元素x,y有x,y∈r,称C是r的一个相容类从简化图找最大相容类：最大相容类的意义是——一个相容类加多一个点就不是相容类了，所以最大相容类可以是多个而不是唯一的“最大”的概念，定义类似极大线性无关组，但元素个数不同------找最大完全多边形。最大完全多边形：含有结点最多的多边形中，每个结点都与其它结点相联结。通过最大相容类求完全覆盖：完全覆盖就是指所有最大相容类构成的集合。8、关系的分类：偏序关系定义：R是A上自反、反对称和传递的关系，则称R是A上的偏序关系。并称A,R是偏序集。全序关系定义：A,≤是偏序集，任何x,y∈A，如果x与y都是可比较的，则称≤是全序关系(线序、链)。9、偏序集Hasse图的画法1).用“。”表示A中元素。2).如果x≤y,且x≠y，则结点y要画在结点x的上方。3).如果x≤y,且y盖住x，x与y之间连一直线。4).一般先从最下层结点(全是射出的边与之相连(不考虑环))，逐层向上画，直到最上层结点(全是射入的边与之相连)。(采用抓两头，带中间的方法)10、重要元素定义（极大小元、最大小元、上下界、最大下界与最小上界）11、如何求映射是入（单）、满、双射？第一步：分别求出定义域和值域第二步：比较就出来了，就那么简单但是要证明的话：两者结合得：双射成立12、复合函数中的重要性质（常考）：f:X→Y,g:Y→Z是两个函数,则⑴如果f和g是满射的，则g。f也是满射的；⑵如果f和g是入射的，则g。f也是入射的；⑶如果f和g是双射的，则g。f也是双射的⑴如果g。f是满射的，则g是满射的；⑵如果g。f是入射的，则f是入射的；⑶如果g。f是双射的，则f是入射的和g是满射的13、函数种类个数的求法14、逆函数（性质）设f:X→Y是双射的函数，fC:YX也是函数,称之为f的逆函数。设f:X→Y是双射的函数，则有15、第六章基础知识重点幂等元、幺元e、零元0、逆元的概念同态同构：f(x)满射、并且满足*不是双射就一定复合同构的条件：必须具有幺元对幺元、零元对零元......代数系统（重点）半群：封闭、可逆独异点：有幺元群：可逆交换群：可交换群的特征：1.消去律2.无零元3.除幺元外无其他幂等元运算表中：每个元素在每一行、列必须出现仅出现一次！16、第七章基础知识重点格：A,≤是偏序集，如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有最大下界和最小上界，则称A,≤是格平凡格：所有全序都是格，称之为平凡格。分配格：（判定定理）所有链均为分配格。设A,≤是分配格，对任何a,b,c∈A,如果有a∧b=a∧c及a∨b=a∨c则必有b=c.有界格：（判定定理）有界格定义：如果一个格存在全上界1与全下界0，则称此格为有界格。从格的图形看：全上界1，就是图的最上边元素(只一个)。全下界0，就是图的最下边元素(只一个)。有补格：（判定定理：根据定义看是不是每个中间元素都有补元）补元：设A,≤是个有界格，a∈A,如果存在b∈A,使得a∨b=1a∧b=0则称a与b互为补元（其中∨是求最小上界，∧求最大下界）有补格的定义：一个有界格中，如果每个元素都有补元，则称之为有补格布尔格：如果一个格既是分配格又是有补格，则称之为布尔格。*重要定理：在有界分配格中，如果元素有补元，则补元是唯一的。17、格的同构条件（特别）需同时满足：钻石定律：一个布尔代数的所有原子（直接覆盖最小元0的元素）构成的布尔代数一定与元代数同构18、布尔代数表达式和布尔函数B,∨,∧,¯是布尔代数的形式含有变元x1,x2,…,xn的布尔表达式记作E(x1,x2,…xn),也可以看成是一个函数f:Bn→B,称之为布尔函数布尔表达式的范式的写法（很重要，与第一第二章的方法类似）19、第八章图论的重要知识点（好多好多的定义自己记吧）图的同构：两个图同构的必要条件:1.结点个数相等.2.边数相等.3.度数相同的结点数相等.4.对应的结点的度数相等.图的连通：强连通、单侧连通和弱连通（一般不考）如果任何两个结点间相互可达,则称G是强连通.如果任何一对结点间,至少有一个结点到另一个结点可达,则称G是单侧连通.如果将G看成无向图后(即把有向边看成无向边)是连通的,则称G是弱连通强分图、单侧分图和弱分图在简单有向图中,具有强连通的最大子图,称为强分图.具有单侧连通的最大子图,称为单侧分图.具有弱连通的最大子图,称为弱分图.图的矩阵表示和写法（前两个有点重要）：一、邻接矩阵每一行的1：在无向图中代表一条线有向图中代表—出线列中的1代表—入线二、可达性矩阵三、完全关系矩阵图中结点的度与个数、边的关系：考试需要两则结合20、欧拉图与H（汉密尔）图（重点）定义：在无孤立结点的图G中,若存在一条回路,它经过图中每条边一次且仅一次,称此回路为欧拉回路.称此图为欧拉图汉密尔顿回路(H回路):通过G中每个结点恰好一次的回路.具有汉密尔顿回路(H回路)的图.欧拉回路的判定：（充要条件）无向图G具有欧拉路,当且仅当G是连通的,且有零个或两个奇数度的结点.汉密尔顿图的判定:（只有充分条件）(充分条件)设G是有n个结点的简单图,若G中每对结点度数之和大于等于n,则G有一条H回路欧拉回路的算法（重重重！虽然可能不考）（记做闭迹交集法）H回路的算法（重重重！虽然可能不考）（记做相邻最小权法）21、树中的重要方法：树的结点与边数：边数=结点数-1e=v-1m叉有序树转化成二叉树的方法：赋权图的最小生成树的求法（记做相邻最小权不回路法）：定义:一棵生成树中的所有边的权之和称为该生成树的权.具有最小权的生成树,称为最小生成树.最优树求法：定义***后五章重点内容（考题重点）：精华看完绝对不亏1、求逆元（例如a逆）第一步：求出幺元e第二步：a逆与a进行所定义的运算，写出等式：如a*a逆=e,求解2、群的阶性质*有一个群G，a属于G，a元素的阶为n，当且仅当k=mn(n的整数倍),a的k次方=e.*n阶群中的元素x，x的n次方等于e3、树的边数e与叶结点t的关系e=2t-24、图的画法与格的判断画法在前面总结过：偏序集Hasse图的画法3).用“。”表示A中元素。4).如果x≤y,且x≠y，则结点y要画在结点x的上方。3).如果x≤y,且y盖住x，x与y之间连一直线。4).一般先从最下层结点(全是射出的边与之相连(不考虑环))，逐层向上画，直到最上层结点(全是射入的边与之相连)。(采用抓两头，带中间的方法)判断——格：看是否任意都有最小上界、最大下界；分配格：跟那俩个特别的格比较，没有那样的子格就是分配格；链一定是分配格有界格：有无最大最小元（1,0表示），有限个元素的格一定是有界格；有补格：看是否每个元素都有补元若有补元，补元唯一的是有界分配格！布尔格：分配、有补5、复合函数的性质f:X→Y,g:Y→Z是两个函数,则⑴如果f和g是满射的，则g。f也是满射的；⑵如果f和g是入射的，则g。f也是入射的；⑶如果f和g是双射的，则g。f也是双射的⑴如果g。f是满射的，则g是满射的；⑵如果g。f是入射的，则f是入射的；⑶如果g。f是双射的，则f是入射的和g是满射的6、完全图的边数无向完全图：边数为n(n-1)/2有向完全图：边数为2的n次方7、欧拉图、H图完全图Kn，n为奇数时，完全图既是欧拉图又是H图；8、证明子格证明从封闭性入手，若对∨,∧（取最小下界、最大上界运算）运算封闭则为子格。9、证明子群第一步：证明非空集合；第二步：在集合中任取两个进行自定义的运算，证明封闭性；第三步：任意取一个集合中的数a，证a逆属于集合即证明可逆性。10、证明等价关系证明三点：自反、对称、传递11、证明同态、同构（或者自同构）第一步：证明f(x)双射，①先证入射（单射），②再证满射，则为双射第二步：证类似如下式子成立12、求图定点数与欧拉握手定理形如：“一个图，边12，有6个3度结点，其他结点度数都小于3，求最少有几个结点”的问题用欧拉握手定理：边数|E|为m，则所有结点度数累加起来等于2m任何图中都有：奇数度顶点个数为偶数。13、布尔表达式的析取范式、合取范式的求法和前面说的一样，与第一第二章的范式写法类似，最好列真值表14、分清叶结点、分支节点、树中节点数与边的关系、度数和与节点数的关系15、Δ(G)，k(G)，δ(G)，λ(G)，W(G)，x(G)分别表示图G的(最大度)，(点连通度)，(最小度)，(边连通度)，(连通分支数)，(最小着色数)K（G）表示点连通度λ（G）表示边连通度d（u，v）表示最短两点距离deg(v)表示度degi表示入度dego表示出度16、代数