MATLAB上机实验——最佳平方逼近

一.任务：用MATLAB语言编写连续函数最佳平方逼近的算法程序（函数式M文件）。并用此程序进行数值试验，写出计算实习报告。二.程序功能要求：在后面的附一leastp.m的基础上进行修改，使其更加完善。要求算法程序可以适应不同的具体函数，具有一定的通用性。所编程序具有以下功能：1.用Lengendre多项式做基，并适合于构造任意次数的最佳平方逼近多项式。可利用递推关系0112()1,()()(21)()(1)()/2,3,.....nnnPxPxxPxnxPxnPxnn2.被逼近函数f(x)不用内联函数构造，而改用M文件建立数学函数。这样，此程序可通过修改建立数学函数的M文件以适用不同的被逼近函数（要学会用函数句柄）。3.要考虑一般的情况]1,1[],[)(baxf。因此，程序中要有变量代换的功能。4.计算组合系数时，计算函数的积分采用变步长复化梯形求积法（见附三）。5.程序中应包括帮助文本和必要的注释语句。另外，程序中也要有必要的反馈信息。6.程序输入：（1）待求的被逼近函数值的数据点0x(可以是一个数值或向量)（2）区间端点：a,b。7.程序输出：（1）拟合系数：012,,,...,ncccc（2）待求的被逼近函数值00001102200()()()()()nnsxcPxcPxcPxcPx三：数值试验要求：1.试验函数：()cos,[0,4]fxxxx；也可自选其它的试验函数。2.用所编程序直接进行计算，检测程序的正确性，并理解算法。3.分别求二次、三次、。。。最佳平方逼近函数）xs(。4.分别作出逼近函数）xs(和被逼近函数)(xf的曲线图进行比较。（分别用绘图函数plot(0x,s(0x))和fplot(‘xcosx’,[x1x2,y1,y2])）四：计算实习报告要求：1.简述方法的基本原理，程序功能，使用说明。2.程序中要加注释。3.对程序中的主要变量给出说明。4.附源程序及计算结果。一、程序代码1)legendre(N)函数程序%legendre(N)函数functionP=legendre(N)symstx;%定义符号变量txforn=1:NPP(n)=diff((t^2-1)^(n-1),n-1);%diff函数,求函数的n阶导数Q(n)=2^(n-1)*prod([1:n-1]);%prod函数，计算数组元素的连乘积endPP(1)=1;Q=sym(Q);P=PP*(inv(diag(Q)));%inv函数，求逆2)采用M文件建立被逼近函数%用M文件建立被逼近函数functionF=creat(x)n=length(x);F=x.*cos(x(1:n));%数组乘法运算3)区间变换函数程序%区间变换函数程序functionf=convert(a,b,F)symsxt;%定义符号变量txs=2\((b-a)*t+a+b);%实现区间转换f=subs(F,x,s);%用s置换表达式中x，然后将置换完的表达式赋给f，符号替换4)变步长复化梯形求积公式程序%变步长复化梯形求积公式functionI=tx(g)m=1;h=1-(-1);%积分区间T=zeros(1,100);%赋予T初值为0的1*100行向量T(1)=h*(feval(g,-1)+feval(g,1))/2;%feval函数，执行函数句柄i=1;whilei100%进行变步长计算m=2*m;h=h/2;s=0;fork=1:m/2x=-1+h*(2*k-1);s=s+feval(g,x);endT(i+1)=T(i)/2+h*s;ifabs(T(i+1)-T(i))0.00001%设置精度值0.00001，终止条件I=T(i+1);break;endi=i+1;end5)主程序%最佳平法逼近函数leastpfunction[cs]=leastp(a,b,N)symstx;F=creat(x);%用M文件建立的被逼近函数P=legendre(N);%legendre(N)函数f=convert(a,b,F);%区间变换函数程序f=P*diag(f);fori=1:Ng=inline(f(i));I=tx(g);%变步长复化梯形求积公式u(i)=I;Q(i)=2\(2*(i-1)+1);endQ=sym(Q);c=double(u*diag(Q));S=c*P';s=subs(S,t,(2*x-a-b)/(b-a));subplot(211),ezplot(s,[a:0.01:b]);subplot(212),ezplot(F,[a,b]);二、运行程序实验函数为：()cos,[0,4]fxxxx输入：a=0;b=4;N=2;[cs]=leastp(a,b,N);a=0;b=4;N=4;[cs]=leastp(a,b,N);a=0;b=4;N=7;[cs]=leastp(a,b,N);三、实验结果N=2N=4N=7由上图可以发现：当阶数N取值不断增加时，图像的拟合程度越高。附：一、参考程序Lengendre多项式作基的函数最佳平方逼近算法程序LEASTP.m（此程序只适用于对函数xxexf)(构造最佳平方逼近多项式）function[c,s]=leastp(x)%LEASTP.m:least-squarefittingwithlegendrepolynomialsp1=1;p2=inline('x','x');p3=inline('(3*x^2-1)','x');pp1=1;pp2=inline('x.^2','x');pp3=inline('(3*x.^2-1)/2.*(3*x.^2-1)/2','x');fp1=inline('x.*exp(x)','x');fp2=inline('(x.^2).*exp(x)','x');fp3=inline('(x.*exp(x)).*(3*x.^2-1)/2','x');c(1)=quad(fp1,-1,1)/2;c(2)=quad(fp2,-1,1)/quad(pp2,-1,1);c(3)=quad(fp3,-1,1)/quad(pp3,-1,1);s=c(1)+c(2)*p2(x)+c(3)*p3(x);二、被逼近函数用M文件建立（例如下面）functionf=fun(x)f=1./(1+x.^2);三、变步长复化梯形求积公式的算法11111.,(()())22.0,23.(),3.15.*26.,7.,,2bahbaTfafbhHxaHHfxxxhxbTThHTTITIhhTT4.若，则转若则，输出,停机。转2.1210[()()]211222((21))221,2,nnnnnjbaTfafbHTTTbabafajnnn