线段的垂直平分线与角平分线的性质(九年级)

线段的垂直平分线与角平分线专题学习【知识总结】1、线段的垂直平分线的性质定理：_______________________________________________________________________________.如右图，几何语言表述为：∵______________________________∴______________________________.2、线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：_________________________________________________________________________.如右图，几何语言表述为：∵______________________________∴______________________________.3、线段中垂线的尺规作图法：4、三角心的外心：三角形三边的中垂线交于一点，它到__________________距离相等，这个点就叫做三角形的外心.5、角分线的性质定理：_________________________________________________________________________________________.如右图，几何语言表述为：∵______________________________∴______________________________.6、角平分线性质定理的逆定理：___________________________________________________________________________________.如右图，几何语言表述为：∵______________________________∴______________________________.7、角平分线的尺规作图法：8、三角心的内心：三角形三边的角平分线交于一点，它到____________距离相等，这个点就叫做三角形的内心.ABCFABADCBA【例题解析】例1：如图，在△ABC中，AC=27，DE为AB的中垂线，△BCE的周长等于50，求BC的长.例2：如图，A、B是两个仓库，直线CD是河，要在河上建码头，使码头到两个仓库的距离相等，问仓库应建在什么地方？(保留作图痕迹即可)DCAB例3：如图，求作点P，使P到C、D的距离相等，同时到角两边的距离也相等.例4：如图，已知∠ACB、∠ADB都是直角，且AC＝AD，P是AB上任意一点．求证：CP＝DP．ABCDEADC例5：如图，△ABC的外角平分线∠DBC、∠ECB的平分线相交于点F.求证：点F在∠A的平分线上.例6：如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的中垂线，求证：(1)∠EAD=∠EDA；(2)DF∥AC；(3)∠EAC=∠B.例7：如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边在直线的同旁作等边三角形ABD、BCE，连结AE交BD于M，连结CD交BE于N，连结MN，求证：BMN是等边三角形。12ADBECNM354ABCDEFABCDEF例8：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N．求证：CM＝2BM．题组一：1、如图，AP平分∠BAC，且PE⊥AB，PF⊥AC，PE=3，则PF=_______.第1题第3题第4题2、在△ABC中，∠C=90º，BD是∠ABC的平分线.已知，AC=32，且AD：DC=5：3，则点D到AB的距离为_______.3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB.若AB=8，则△DEB的周长是__________.4、如图，在△ABC中，OB平分∠ABC，OC平分∠ABC，MN∥BC且过点O.若AB=8，AC=7，则△AMN的周长是_________.5、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，且DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE=DF.(要求证明过程中要用到角平分线性质定理)6、如图，已知：AD⊥OB于D，BD⊥OA于C，AD、BC相交于E，且EA=EB.求证：EO为∠AOB的平分线.题组二：1、如图，0P是∠AOB的角平分线，PC⊥AO，PD⊥OB，则PD与PC的大小关系为()A．PCPDB．PC=PDC．PCPDD．不能确定第1题第2题第3题2、如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在()A．在AC、BC两边高线的交点处B.在AC、BC两边中线的交点处C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处D.在∠A、∠B的角平分线的交点处3、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于()A．25ºB.30ºC.45ºD.60º4、如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的面积是_______.5、如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．6、如图，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，请你判断线段AC与BH有什么关系？并说明理由.