人教A版2012高三数学理全套解析一轮复习课件：7-6-空间向量及其运算

高三总复习人教A版·数学（理）第六节空间向量及其运算高三总复习人教A版·数学（理）1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.高三总复习人教A版·数学（理）1．把空间中具有和的量叫2．(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是大小方向向量．存在实数λ，使a＝λb.高三总复习人教A版·数学（理）(2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使3．空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→.p＝xa＋yb.p＝xa＋yb＋zc高三总复习人教A版·数学（理）4．两个向量的数量积非零向量a、b的数量积a·b＝向量的数量积的性质：①a·e＝；②a⊥b⇔；③|a|2＝.|a||b|cos〈a，b〉|a|cos〈a，e〉，e为单位向量a·b＝0a·a高三总复习人教A版·数学（理）向量的数量积满足如下运算律：①(λ·a)·b＝；②a·b＝(交换律)；③a·(b＋c)＝(分配律)．5．空间向量的直角坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)则λ(a·b)b·aa·b＋a·c高三总复习人教A版·数学（理）①a＋b＝；②a－b＝；③a·b＝，特殊地a·a＝；④a∥b⇔(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)a1b1＋a2b2＋a3b3a12＋a22＋a32a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)或a1b1＝a2b2＝a3b3(b1·b2·b3≠0)；高三总复习人教A版·数学（理）⑤a⊥b⇔；⑥A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)6．向量a与b的夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a≠0，b≠0)AB→＝OB→－OA→＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．a1b1＋a2b2＋a3b3a12＋a22＋a32·b12＋b22＋b32高三总复习人教A版·数学（理）7．两点距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间两点，则|AB→|＝AB→·AB→＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.高三总复习人教A版·数学（理）1．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是()A．(13，1,1)B．(－1，－3,2)C．(－12，32，－1)D．(2，－3，－22)解析：可知－12a＝(－12，32，－1)，选C.答案：C高三总复习人教A版·数学（理）2．如右图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则下列向量与B1M→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC.12a－12b＋cD．－12a－12b＋c高三总复习人教A版·数学（理）解析：B1M→＝B1A1→＋A1A→＋AM→＝B1A1→＋A1A→＋12AC→＝B1A1→＋A1A→＋12(AB→＋AD→)＝－a＋c＋12(a＋b)＝c－12a＋12b.答案：A高三总复习人教A版·数学（理）3．若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，则()A．p＝3，q＝2B．p＝2，q＝3C．p＝－3，q＝－2D．p＝－2，q＝－3高三总复习人教A版·数学（理）解析：由已知得存在λ∈R，使AB→＝λAC→，∴(1，－1,3)＝λ(p－1，－2，q＋4)，∴1＝λp－1－1＝－2λ3＝λq＋4，解得p＝3，λ＝12，q＝2.答案：A高三总复习人教A版·数学（理）4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为89，则λ等于()A．2B．－2C．－2或255D．2或－255解析：由已知得89＝a·b|a||b|＝2－λ＋45＋λ2·9，∴85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255.答案：C高三总复习人教A版·数学（理）5．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝________.解析：ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝(2,2,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)．由(ka＋b)·(2a－b)＝0得3(k－1)＋2k－4＝0.∴k＝75.答案：75高三总复习人教A版·数学（理）用已知向量表示未知向量，一定要结合图形．可从以下角度入手：1．要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来．2．把要表示的向量标有封闭图形中，表示为其他向量的和差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系．3．用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．热点之一空间向量的线性运算高三总复习人教A版·数学（理）[例1]如右图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP→；(2)A1N→；(3)MP→＋NC1→.高三总复习人教A版·数学（理）[思路探究]根据空间向量的加、减及数乘运算的法则和运算律即可．解题过程中要注意观察所涉及的向量在图形中的位置特点，选取适当的三角形(或平行四边形)，从而找出恰当的解题途径．[课堂记录](1)∵P是C1D1的中点，∴AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.高三总复习人教A版·数学（理）(2)∵N是BC的中点，∴A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12BC→＝－a＋b＋12AD→＝－a＋b＋12c.(3)∵M是AA1的中点，∴MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→＝－12a＋(a＋c＋12b)＝12a＋12b＋c，又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→高三总复习人教A版·数学（理）[思维拓展]注意向量加减法中的方向，还有向量首尾．＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，∴MP→＋NC1→＝(12a＋12b＋c)＋(a＋12c)＝32a＋12b＋32c.高三总复习人教A版·数学（理）即时训练如右图，已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列命题中x，y的值：(1)OQ→＝PQ→＋xPC→＋yPA→；(2)PA→＝xPO→＋yPQ→＋PD→.高三总复习人教A版·数学（理）解：(1)∵OQ→＝PQ→－PO→＝PQ→－12(PA→＋PC→)＝PQ→－12PA→－12PC→.∴x＝y＝－12.高三总复习人教A版·数学（理）(2)∵PA→＋PC→＝2PO→，∴PA→＝2PO→－PC→.又∵PC→＋PD→＝2PQ→，∴PC→＝2PQ→－PD→，从而有PA→＝2PO→－(2PQ→－PD→)＝2PO→－2PQ→＋PD→∴x＝2，y＝－2.高三总复习人教A版·数学（理）热点之二共线定理、共面定理的应用应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面．1．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线(1)PA→＝λPB→；(2)对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→；高三总复习人教A版·数学（理）(3)对空间任一点O，OP→＝xOA→＋yOB→(x＋y＝1)．2．证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面(1)MP→＝xMA→＋yMB→；(2)对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→；(3)对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→(x＋y＋z＝1)；(4)PM→∥AB→(或PA→∥MB→或PB→∥AM→)．高三总复习人教A版·数学（理）[例2]已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．用向量法证明：E，F，G，H四点共面．[思路探究]空间向量的概念→空间向量的线性运算→共面向量定理[课堂记录]如右图所示，连接BG，EG，则高三总复习人教A版·数学（理）EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋12BD→＝EF→＋EH→.由共面向量定理知E，F，G，H四点共面．高三总复习人教A版·数学（理）[思维拓展]证明共面问题，关键是要利用好共面向量定理，即只要存在实数x，y，使得EG→＝xEF→＋yEH→即可．也可用其推论，如对空间中一点O，有OG→＝xOE→＋yOF→＋zOH→(x＋y＋z＝1)即可．如本例可由AG→＝xAE→＋yAF→＋zAH→，只需求得x、y、z满足x＋y＋z＝1即可．高三总复习人教A版·数学（理）即时训练已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否一定与A、B、C共面？(1)OP→＝25OA→＋15OB→＋25OC→；(2)OP→＝2OA→－2OB→－OC→.高三总复习人教A版·数学（理）解：(1)原式变形为OP→＝25OA→＋15(OA→＋AB→)＋25(OA→＋AC→)＝OA→＋15AB→＋25AC→，∴AP→＝15AB→＋25AC→.∴由共面向量定理的推论知P与A、B、C共面．(2)原式变形为OP→＝2OA→－2(OA→＋AB→)－(OA→＋AC→)＝－OA→－2AB→－AC→∴P与A、B、C三点不共面．高三总复习人教A版·数学（理）热点之三空间向量数量积的应用用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线线垂直，线面垂直等典型问题．(1)求向量m和n所成的角，首先应选择合适的基底，将目标向量m和n用该组基底表示出来，再求其自身的数量积及长度，最后利用公式cos〈m，n〉＝m·n|m||n|.高三总复习人教A版·数学（理）(2)在向量性质中|a|2＝a·a提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题．高三总复习人教A版·数学（理）[例3](2010·珠海模拟)已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC、A1C1的中点，建立如右图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)若M为BC1的中点，试用基向量AA1→、AB→、AC→表示向量AM→；(3)求异面直线AM与BC所成的角．高三总复习人教A版·数学（理）[课堂记录](1)设正三棱柱的侧棱长为a，则A(0，－1,0)，B1(3，0，a)，B(3，0,0)，C1(0,1，a)，∴AB1→＝(3，1，a)，BC1→＝(－3，1，a)．∵AB1⊥BC1，∴AB1→⊥BC1→，∴AB1→·BC1→＝0，即－3＋1＋a2＝0，∴a＝2.即正三棱柱侧棱长为2，高三总复习人教A版·数学（理）(2)AM→＝AB→＋BM→＝AB→＋12BC1→＝AB→＋12(BC→＋CC1→)＝AB→＋12(AC→－AB→＋AA1→)＝12AB→＋12AC→＋12AA1→，(3)由条件知，〈AB→，BC→〉＝120°，〈AC→，BC→〉＝60°，〈BC→，AA1→〉＝90°.AM→·BC→＝(12AB→＋12AC→＋12AA1→)·BC→高三总复习人教A版·数学（理）＝12(AB→·BC→＋AC→·BC→＋AA1→·BC→)＝12(－2×2·12＋2×2×12＋0)＝0，∴AM→⊥BC→，即异面直线AM与BC所成角为90°.