信号与线性系统题解--阎鸿森-第二章

1信号与线性系统题解阎鸿森第二章习题答案2.1(1)已知连续时间信号()xt如图P2.1(a)所示。试画出下列各信号的波形图，并加以标注。(a)(2)xt(b)(1)xt(c)(22)xt(2)根据图P2.1(b)所示的信号()ht，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。(a)(3)ht(b)(2)2th(c)(12)ht(3)根据图P2.1(a)和(b)所示的()xt和()ht，画出下列各信号的波形图，并加以标注。(a)()()xtht(b)(1)(1)xtht(c)(2)(4)2txht图P2.1解：(1)各信号波形如下图所示：2(a)(b)(c)12(2)xt(1)xt(22)xtttt222211111210001112235(2)各信号波形如下图所示：(a)(b)(c)121232(3)ht(2)2th(12)htttt0001111246812345(3)各信号波形如下图所示：()()xtht(1)(1)xtht(2)2tx(a)(b)(c)ttt(2/2)(4)0xtht00011111222222114622.2已知信号(52)xt的波形图如图P2.2所示，试画出()xt的波形图，并加以标注。(52)xtt325201123图P2.2解：波形如下图所示：33252(52)xt(5)xt(5)xt()xttttt00001111111222334561234562.3(1)已知离散时间信号()xn如图P2.3(a)所示，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。(a)(4)xn(b)(21)xn(c)(),ˆ()30,nxnxnn其他(2)对图P2.3(b)所示的信号()hn，试画出下列个信号的波形，并加以标注。(a)(2)hn(b)(2)hn(c)(2)(1)hnhn(3)根据图P2.3(a)和(b)所示的()xn和()hn，画出下列各信号的波形图，并加以标注。(a)(2)(12)xnhn(b)(1)(4)xnhn(c)(1)(3)xnhn4()xnn()hnn1212323212(a)(b)411120011122334421图P2.3解：(1)各信号波形图如下图所示：(4)xnn(a)1/22101123456(21)xnˆ()xnnn(b)(c)2110011112233(2)各信号波形图如下图所示：(2)(1)hnhnn1/2(c)654322210123(3)各信号波形如下图所示：5(2)(12)xnhn(1)(4)xnhn(a)(b)nn1/21/23/23/21/43/411001112232(1)(3)xnhn(c)n1/21/23/211012345672.4画出图P2.4所给各信号的奇部和偶部。()xtt()xtt(a)(b)001121121图P2.4解：(a)1212()dxttt121122001122()uExt(b)6()dxttt12122211001122121()uExt(c)()exn()oxnnn4322110011223344111(d)1/23/21/21/21/21/21/21/23/21/21/21/23/2()oxn()exnnn3210011232.5已知()xn如图P2.5所示，设：12()(2)(/2),()0,ynxnxnnynn偶奇画出1()yn和2()yn的波形图。()xnn410112234图P2.5解：72.6判断下列说法是否正确？如果正确，则求出每个信号基波周期之前的关系，如果不正确，则举出一个反例。(1)(a)若()xt是周期的，则(2)xt也是周期的。(b)若(2)xt是周期的，则()xt也是周期的。(c)若()xt是周期的，则(/2)xt也是周期的。(d)若(/2)xt是周期的，则()xt也是周期的。(2)定义12(/2),()(2),()0,xnnynxnynn偶奇(a)若()xn是周期的，则1()yn也是周期的。(b)若1()yn是周期的，则()xn也是周期的。(c)若()xn是周期的，则2()yn也是周期的。(d)若2()yn是周期的，则()xn也是周期的。解：(1)(a)正确。若()xt的周期为T，则(2)xt的周期为/2T。(b)正确。若(2)xt的周期为T，则()xt的周期为2T。(c)正确。若()xt的周期为T，则(/2)xt的周期为2T。(d)正确。若(/2)xt的周期为T，则()xt的周期为/2T。(2)由12(/2),()(2),()0,xnnynxnynn偶奇(a)正确。设()xn的周期为N。如果N为偶数，则1()yn的周期为/2N；如果N为奇数，则必须有022NN，才能保证周期性，此时1()yn的周期为0NN。(b)不正确。设()()()xngnhn，其中()sin4ngn，对所有n，81,()30,nnhnn奇偶显然()xn是非周期的，但1()yn是周期的。(c)正确。若()xn的周期为N，则2()yn的周期为2N。(d)正确。若2()yn的周期为N，则N只能是偶数。()xn的周期为/2N。2.7判断下列各信号是否是周期信号，如果是周期信号，求出它的基波周期。(a)()2cos(3/4)xtt(b)()cos(8/72)xnn(c)(1)()jtxte(d)(/8)()jnxne(e)0()(3)(13)mxnnmnm(f)()cos2()xttut(g)()cos(/4)cos(/4)xnnn(h)()cos2()vxtEtut(i)()cos(2/4)()vxtEtut(j)()2cos(/4)sin(/8)2sin(/2/6)xnnnn解：(a)()2cos(3/4)xtt，周期信号，23T。(b)()cos(8/72)xnn，周期信号，087，7N(c)(1)()jtxte，周期信号，2T。(d)(/8)()jnxne，非周期信号，因为0/2是无理数。(e)()(3)(13)mxnnmnm，设周期为N，则有()(3)(13)mxnNnNmnNm，令3Nk，（k为整数）则(3)3()13()mxnknmknmk，令mkl则有(3)313mxnknlnl显然，()xn是周期信号，其周期为3N。(f)()cos2()xttut，非周期信号。9(g)cos4n是非周期的，()xn是非周期信号。(h)1()cos2()(cos2)()(cos2)()2vxtEtuttuttut，周期的，周期1T。(i)()cos(2/4)()vxtEtut，非周期信号。(j)()xn是周期信号，其周期就是cossin48nn、和sin26n的公共周期。周期为16N。2.8(a)设()xt和()yt都是周期信号，其基波周期分别为1T和2T。在什么条件下，和式()()xtyt是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？(b)设()xn和()yn都是周期信号，其基波周期分别为1N和2N。在什么条件下，和式()()xnyn是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？解：(a)()xt，()yt是周期的，1()()xtkTxt，2()()ytkTyt令()()()ftxtyt，欲使()ft是周期的，必须有000()()()()()()stTxtTytTxtytft012TkTlT即12TlTk，其中,kl为整数。这表明：只要()xt和()yt的周期之比12TT是有理数，()()xtyt就一定是周期的。其基波周期0T是12,TT的最小公倍数。(b)()xn和()yn是周期的，12()(),()()xnNxnynNyn令()()()fnxnyn，欲使()fn是周期的，必须有012NkNmN（,km为整数）即''11121''22122gcd(,)gcd(,)NNNNNmNkNNNN'1N与'2N无公因子，''12,mNkN10'0211212/gcd(,)NNNNNNN2.9画出下列各信号的波形图：(a)()(2)()txteut(b)()cos10(1)(2)txtetutut(c)2()(9)xtut(d)2()(4)xtt解：各信号波形如下图所示：图PS2.92.10已知信号()sinxttutut，求：(a)212()()()dxtxtxtdt(b)2()()txtxd解：()sinxttutut()cossincosdxttututtttdttutut22()sincossincos0cossindxttututtttdttututtttututtt(a)212()()()()()dxtxtxtttdt11(b)200()()1cos02ttxtxdttt2.11计算下列各积分：(a)sin()2ttdt(b)(2)tetdt(c)3(2)(1)tttdt(d)00()()2tutttdt(e)()edt(f)121(4)tdt解：(a)sin()sin122ttdt(b)(2)2(2)tetdtee(c)同(b)，4(d)00000()()()()222tttutttdtutu(e)0()1edte(f)02.12根据本章的讨论，一个系统可能是或者不是：①瞬时的；②时不变的；③线性的；④因果的；⑤稳定的。对下列各方程描述的每个系统，判断这些性质中哪些成立，哪些不成立，说明理由。(a)()()xtyte(b)()()(1)ynxnxn(c)()(2)2(17)ynxnxn(d)()(1)(1)ytxtxt(e)()()sin6ytxtt(f)()()ynnxn(g)0,0()()(100),0tytxtxtt(h)0,()0()()(100),()0xtytxtxtxt(i)()(2)ynxn(j)()(/2)ytxt解：(a)无记忆。输出只决定于当时的输入。非线性。1212()()()()1212()()()()xtxtxtxteeeytytytyt时不变。0()0()xtteytt因果。无记忆系统必然是因果的。稳定。当()xtM时，()()()xtxtMyteee。(b)记忆。输出不只决定于当时的输入。12非线性。系统不满足可加性和齐次性。时不变。000()(1)()xnnxnnynn。因果。输出只与当时和以前的输入有关。稳定。当()xn有界时，(1)xn也有界，从而()yn必有界。(c)记忆。(1)(1)2(16)yxx