一次函数与平行四边形综合

第1页（共13页）一．解答题（共3小题）1．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求△OFH的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．第2页（共13页）3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程的根．（1）求点D的坐标；（2）求直线CD的解析式；（3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由．第3页（共13页）参考答案与试题解析一．解答题（共3小题）1．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∴OA=8，OB=6，在直角△AOB中，AB===10；（2）∵BC平分∠ABO，∴OC=CD，设OC=x，则AC=8﹣x，CD=x．∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°，∴△ACD∽△AOB，∴，即，解得：x=3．即OC=3，则C的坐标是（﹣3，0）．第4页（共13页）设AB的解析式是y=kx+b，根据题意得解得：则直线AB的解析式是y=x+6，设CD的解析式是y=﹣x+m，则4+m=0，则m=﹣4．则直线CE的解析式是y=﹣x﹣4；（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，易知BC的直线方程为y=2x+6，设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（﹣8，0），B（0，6），则AM12=（m+8）2+（2m+6）2，=5m2+40m+100，BM12=m2+（2m+6﹣6）2=5m2，AB=10，根据AB2+AM12=BM12得100+5m2+40m+100=5m2，m=﹣5，∴M1（﹣5，﹣4），BM1中点坐标为（﹣，1），BM1中点同时也是AP1中点，则有，解得P1（3，2）②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2=AM22+BM22，即100=5m2+40m+100+5m2，m=﹣4或m=0（舍去），∴M2（﹣4，﹣2），AB中点坐标为（﹣4，3），AB中点同时也是P2M2中点，则有，解得P2（﹣4，8）综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（﹣4，8）．第5页（共13页）2．（2015•黑龙江）如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求△OFH的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC，∴BC=2，OC=4，∴B（﹣2，4），∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D（4，0），设直线BD解析式为y=kx+b，第6页（共13页）把B、D坐标代入可得，解得，∴直线BD的解析式为y=﹣x+；（2）由（1）可知E（4，2），设直线OE解析式为y=mx，把E点坐标代入可求得m=，∴直线OE解析式为y=x，令﹣x+=x，解得x=，∴H点到y轴的距离为，又由（1）可得F（0，），∴OF=，∴S△OFH=××=；（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，∴△DFM为直角三角形，①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，由（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF∽△FOD，∴=，即=，解得OM=，第7页（共13页）∴M（﹣，0），且D（4，0），∴G（，0），设N点坐标为（x，y），则=，=0，解得x=，y=﹣，此时N点坐标为（，﹣）；②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，则有△FOD∽△DOM，∴=，即=，解得OM=6，∴M（0，﹣6），且F（0，），∴MG=MF=，则OG=OM﹣MG=6﹣=，∴G（0，﹣），设N点坐标为（x，y），则=0，=﹣，解得x=﹣4，y=﹣，此时N（﹣4，﹣）；③当∠FMD=90°时，则可知M点为O点，如图3，第8页（共13页）∵四边形MFND为矩形，∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N（4，）；综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）．3．（2015•龙沙区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程的根．（1）求点D的坐标；（2）求直线CD的解析式；（3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，∴点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（0，8），∵点C为线段AB的中点，∴点C的坐标是（4，4），第9页（共13页）由，解得x=5，∴CD=5，设点D的坐标是（m，0）（m＞0），则，解得m=1或m=7，∴点D的坐标是（1，0）或（7，0）．（2）①当点D的坐标是（1，0）时，设直线CD的解析式是y=ax+b，则解得∴直线CD的解析式是y=x﹣．②当点D的坐标是（7，0）时，设直线CD的解析式是y=cx+d，则解得∴直线CD的解析式是y=﹣x．（3）存在点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形．①当直线CD的解析式是y=x﹣时，设AF所在的直线的解析式是y=+m，∵点A的坐标是（8，0），第10页（共13页）∴，解得m=﹣，∴AF所在的直线的解析式是y=﹣．Ⅰ、如图1，，设点F的坐标是（p，），则DF的中点E的坐标是（），∵点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（4，4），∴AC的中点E的坐标是（6，2），∴=6，解得p=11，∴点F的坐标是（11，4）．Ⅱ、如图2，，设点F的坐标是（p，），则CF的中点G的坐标是（），∵点A的坐标是（8，0），点D的坐标是（1，0），第11页（共13页）∴AD的中点G的坐标是（4.5，0），∴，解得p=5，∴点F的坐标是（5，﹣4）．Ⅲ、如图3，当CF∥AD时，，设点F的坐标是（p，4），则AF的中点E的坐标是（，2），∵点D的坐标是（1，0），点C的坐标是（4，4），∴CD的中点E的坐标是（2.5，2），∴=2.5，解得p=﹣3，∴点F的坐标是（﹣3，4）．②当直线CD的解析式是y=﹣x+时，设AF所在的直线的解析式是y=﹣+n，∵点A的坐标是（8，0），∴，解得n=，∴AF所在的直线的解析式是y=﹣+．第12页（共13页）Ⅰ、如图4，，设点F的坐标是（p，﹣），则DF的中点M的坐标是（），∵点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（4，4），∴AC的中点M的坐标是（6，2），∴=6，解得p=5，∴点F的坐标是（5，4）．Ⅱ、如图5，，设点F的坐标是（p，﹣），则CF的中点N的坐标是（，），∵点A的坐标是（8，0），点D的坐标是（7，0），∴AD的中点N的坐标是（7.5，0），∴，解得p=11，第13页（共13页）∴点F的坐标是（11，﹣4）．Ⅲ、如图6，当CF∥AD时，，设点F的坐标是（p，4），则AF的中点E的坐标是（，2），∵点D的坐标是（7，0），点C的坐标是（4，4），∴CD的中点E的坐标是（5.5，2），∴=5.5，解得p=3，∴点F的坐标是（3，4）．综上，可得点F的坐标是（11，4），（5，﹣4），（﹣3，4），（5，4），（11，﹣4）或（3，4）．