您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 医学/心理学 > 医学试题/课件 > 二项式定理公开课教案
-1-二项式定理公开课教案1、重点:二项式定理的发现、理解和初步应用。2、难点:二项式定理的发现。三、教学过程1、情景设置问题1:若今天是星期一,再过30天后是星期几?怎么算?预期回答:星期三,将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。问题2:若今天是星期一,再过)(8Nnn天后是星期几?怎么算?预期回答:将问题转化为求“nn)17(8被7除后算余数”是多少,也就是研究)()(Nnban的展开式是什么?这就是本节课要学的内容,学完本课后,此题就不难求解了。2、新授第一步:让学生展开baba1)(2222)(bababa;32232333)()()(babbaabababa;43223434464)()()(babbabaabababa5432234555510105)()()(babbababaabababa教师将以上各展开式的系数整理成如下模型1112113311464115101051问题1:请你找出以上数据上下行之间的规律。预期回答:下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。问题2:以5)(ba的展开式为例,说出各项字母排列的规律;项数与乘方指数的关系;展开式第二项的系数与乘方指数的关系。预期回答:①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列,且两个字母的和等于乘方指数;②展开式的项数比乘方指数多1项;③展开式中第二项的系数等于乘方指数。-2-初步归纳出下式:nnnnnnbbababaaba33221)((※)(设计意图:以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”,起到了“先行组织者”的作用,虽然,教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生,但是,它毕竟不是最后的结果,而是一种寻找系数规律的有效工具,便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来,并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的,是主动建构的而不是被动死记的心理过程。)练习:展开7)(ba教师作阶段性评价,告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作,称为杨辉三角形,这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索,以鼓励学生探究的热情,并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步:继续设疑如何展开100)(ba以及)()(Nnban呢?(设计意图:让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的,激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。)继续新授师:为了寻找规律,我们将))()()(()(4bababababa中第一个括号中的字母分别记成11,ba;第二个括号中的字母分别记成22,ba;依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算:))()()(()(443322114bababababa4321aaaa………4a1432243134214321baaabaaabaaabaaa………ba3214331424132324142314321bbaabbaabbaabbaabbaabbaa………22ba3214421343124321bbbabbbabbbabbba………3ab4321bbbb………4b(设计意图:上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”,用以激活学生认知结构中已有的知识与经验,便于学生进行类比学习,用已有的知识与经验同化当前学习的新知识,并迁移到陌生的情境之中。)问题1:以22ba项为例,有几种情况相乘均可得到22ba项?这里的字母ba,各来自哪个括号?问题2:既然以上的字母ba,分别来自4个不同的括号,22ba项的系数你能用组合数来表示吗?-3-问题3:你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗?(预期答案:有4个括号,每个括号中有两个字母,一个是a、一个是b。每个括号只能取一个字母,任取两个a、两个b,然后相乘,问不同的取法有几种?)问题4:请用类比的方法,求出二项展开式中的其它各项系数,并将式子:4322344))()()(()(babbabaabababababa括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。呈现二项式定理——板书课题:)()(222110NnbCbaCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnnnn。3、深化认识请学生总结:①二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么?②二项式定理展开式的结构特征是什么?哪一项最具有代表性?由此,学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念,这是本课的重点。(设计意图:教师用边讲边问的形式,通过让学生自己总结、发现规律,挖掘学习材料潜在的意义,从而使学习成为有意义的学习。)4、巩固应用【例1】展开①4)11(x②6)12(xx【例2】①求7)21(x的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。②求9)1(xx的展开式中含3x项的系数。变式:在二项式定理中,令xba,1,得到怎样的公式?nnnrrnnnnxCxCxCxCx2211)1(思考:?210nnrnnnnCCCCC为什么?-4-?21nnrnnnCCCC【例3】解决起始问题:nnnnnnnnnnCCCC777)17(81110,前面是7的倍数,因此余数为1nnC,故应该为星期二。说明:解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。四、课堂小结①本节课我们主要学习了二项式的展开,有两种方法,一是杨辉三角形,二是二项式定理,两种方法各有千秋。②二项式定理的表达式以及展开式的通项,③要正确区别“项的系数”和“二项式系数”,④将二项式定理中的字母赋上适当的值,就可以求一些特殊的组合多项式的值。二项式定理由多项式乘法法则得(a+b)2的展开式:(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2;从上述过程中可以发现,(a+b)n是n个(a+b)相乘,根据多项式乘法法则,每个(a+b)相乘时有两个选择,选a或选b,而且每个(a+b)中的a或b选定后,才能得到展开式的一项,由分步乘法计数原理,可以得到这样的项的项数,然后合并同类项。探索(a+b)4的展开式的形式。4个括号中取a和取b的个数和为4,即每一项的形式是a4-kbk,(1)k=0时,a4-kbk=a4,四个括号中全都取a,相当于取0个b,有C40项a4,即a4的系数为得:C40;(2)k=1时,四个括号中有1个取b,剩下的3个取a,得:C41a3·C33b(3)k=1时,四个括号中有2个取b,剩下的2个取a,得:C42a2·C22b2(4)k=3时,四个括号中有3个取b,剩下的1个取a,得:C43a·C11b3(5)k=4时,四个括号中全都取b,得:C44b4(a+b)4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4(a+b)n的展开式又是什么呢?猜想:)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn证明:对(a+b)n分类,按b可以分n+1类,⑴不取b:Cn0an;⑵取1个b:Cn1an-1b;⑶取2个b:Cn1an-2b2;………………(k+1)取k个b:Cnkan-kbk;-5-………………(n+1)取n个b:Cnnbn;然后将上述过程合起来,就得到二项展开式,(a+b)n=0nCan+1nCan-1b+…+knCan-kbk+…+nnCbn(n∈N+)这就是二项式定理。它有n+1项,各项的系数(0,1,)rnCrn叫二项式系数,rnrrnCab叫二项展开式的通项,用1rT表示,即通项为展开式的第k+1项:1rnrrrnTCab.二项式定理中,设1,abx,则1(1)1nrrnnnxCxCxx你怎么记忆这个公式?①项数:共n+1项,是关于a与b的n次齐次多项式;②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列;b的指数从0逐项递增到n,是升幂排列。例1求61(2)xx的展开式.解:66311(2)(21)xxxx61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]xCxCxCxCxCxx32236012164192240160xxxxxx.例2(1)求7(12)x的展开式的第4项的系数;(2)求91()xx的展开式中x3的系数及二项式系数奎屯王新敞新疆解:(1+2x)7的展开式的第四项是333317(2)280TCxx,∴(1+2x)7的展开式的第四项的系数是280.(2)∵91()xx的展开式的通项是9921991()(1)rrrrrrrTCxCxx,∴9-2r=3,r=3,∴x3的系数339(1)84C,x3的二项式系数3984C.-6-例3.⑴求12()xa的展开式中的倒数第4项;⑵求93()3xx的展开式常数项;解:⑴12()xa的展开式中共13项,它的倒数第4项是第10项,9129933939911212220TCxaCxaxa.⑵∵3992921993()()33rrrrrrrxTCCxx,∴当390,62rr时展开式是常数项,即常数项为637932268TC;“杨辉三角”1)(ba…………………………………112)(ba………………………………1213)(ba……………………………13314)(ba…………………………146415)(ba………………………151010516)(ba……………………1615201561这个表叫做二项式系数表,也称“杨辉三角”。“杨辉三角”的特征:⑴表中每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当n不大时,可以根据这个表来求二项式系数。⑵设表中不为1的数Crn+1,那么它肩上的两个数分别为Cnn-1,Cnr,所以Crn+1=Cnn-1+Cnr。⑶《详解九章算术》中的“杨辉三角”如右图。二项式系数的性质nba)(展开式的二项式系数依次是nnnnnC,,C,C,C210-7-从函数角度看,rnC可看成是以r为自变量的函数f(x),其定义域是n,,2,1,0,对于确定的n,还可以画出它的图象;例如,当n=6时,其图象是7个孤立的点(如图)⑴对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵mnmnnCC).直线2nr是图象的对称轴.⑵增减性与最大值.∵1(1)(2)(1)1!kknnnnnnknkCCkk,∴knC相对于1knC的增减情况由1nkk决定,1112nknkk,当12nk时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值;当n是偶数时,中间一项2nnC取得最大值;当n是奇数时,中间两项12nnC,12nnC取得最大值.⑶各二项式系数和:∵1(1)1nrrnnnxCxCxx,令1x,则0122nrnnnnnnCCCCC
本文标题:二项式定理公开课教案
链接地址:https://www.777doc.com/doc-5755150 .html