09届高三理科数学下册第二次考试

海量资源尽在星星文库：本资料来源于《七彩教育网》届高三理科数学下册第二次考试数学试卷（理科）总分：150分时量：120分钟2009年4月5日长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中隆回一中；澧县一中；郴州一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的）.1．集合12AxNx的真子集的个数为（）A．3B．4C．7D．82．复数（ii12）2（其中i为虚数单位）的虚部等于（）A．－iB．1C．－1D．03．设函数2011531xxfxaxxx在区间,0上连续，则实数a的值为()A．2B．1C．0D．34.已知3nxx展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中的常数项等于()A.135B.270C.540D.12155．下面四个命题：①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；②“直线l⊥平面内所有直线”的充要条件是“l⊥平面”；③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”；其中正确命题的序号是()由联合命题海量资源尽在星星文库：．①②B．②③C．③④D．②④6．已知)1(3cos3)1(3sin)(xxxf，则(1)(2)(2008)fff（）A．23B．3C．1D．07．已知O，A，B，C是不共线的四点，若存在一组正实数1，2，3，使1OA＋2OB＋3OC=0，则三个角∠AOB，∠BOC，∠COA（）A．都是锐角B．至多有两个钝角C．恰有两个钝角D．至少有两个钝角。8．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，所得的数是大于20000的偶数的概率为（）A．2512B．52C．256D．100219．双曲线22ax－22by＝1的左右焦点分别为F1﹑F2，在双曲线上存在点P，满足︱PF1︱＝5︱PF2︱。则此双曲线的离心率e的最大值为（）A．34B．23C．35D．210．f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足()()xfxfx，对任意的正数a﹑b，若a＜b，则必有（）A．af(a)≤bf(b)B．af(a)≥bf(b)C．af(b)≤bf(a)D．af(b)≥bf(a)二、填空题:（本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上）.11．已知在平面直角坐标系中，O(0,0),M(1,21),N(0,1),Q(2,3),动点P(x,y)满足：0≤OPOM≤1,0≤OPON≤1,则OPOQ的最大值为＿＿＿＿＿．12．已知函数y=f(x),x∈[－1，1]的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成（如图所示）,则不等式的()()23fxfxx的解集为13．已知0limxxxsin＝1，则2limxxx2cos＝＿＿＿＿＿．海量资源尽在星星文库：．若两条异面直线所成的角为600，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为＿＿＿＿＿．15．已知抛物线的方程为22(0)ypxp，直线l与抛物线交于A,B两点，且以弦AB为直径的圆M与抛物线的准线相切，则弦AB的中点M的轨迹方程为；当直线l的倾斜角为3时，圆M的半径为．三、解答题:（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16．（本小题满分12分）已知向量a＝(cos23x,sin23x),b＝(cos2x,－sin2x),且x∈[0,2].(1)求a·b及︱a＋b︱；(2)若f(x)=a·b－2︱a＋b︱的最小值为－7,求实数的值.17．（本小题满分12分）某公司科研部研发了甲﹑乙两种产品的新一代产品，在投产上市前，每种新一代产品都要经过第一和第二两项技术指标检测，两项技术指标的检测结果相互独立，每项技术指标的检测结果都均有A，B两个等级，对每种新一代产品，当两项技术指标的检测结果均为A级时，才允许投产上市，否则不能投产上市。(1)已知甲﹑乙两种新一代产品的每一项技术指标的检测结果为A级的概率如下表所示，分别求出甲﹑乙两种新一代产品能投产上市的概率P甲﹑P乙；第一项技术指标第二项技术指标甲0.80.85乙0.750.8(2)若甲﹑乙两种新一代产品能投产上市，可分别给公司创造100万元﹑150万元的利润；否则将分别给公司造成10万元﹑20万元的损失，在1）的条件下，用﹑分别表示甲﹑乙两种新一代产品的研发给公司创造的利润，求﹑的分布列及E﹑海量资源尽在星星文库：.18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=900，D为棱BB1上一点，且面DA1C⊥面AA1C1C.1）求证：D点为棱BB1的中点；2）若二面角A－A1D－C的平面角为600，求ABAA1的值。19．（本小题满分13分）设正项数列｛na｝的前项和为Sn，q为非零常数。已知对任意正整数n,m，当n＞m时，mnmmnSqSS总成立。A1C1B1ACBA1D海量资源尽在星星文库：）求证数列｛na｝是等比数列；2）若正整数n,m,k成等差数列，求证：nS1＋kS1≥mS2。20．（本小题满分13分）已知椭圆C：22ax＋22by＝1（a＞b＞0）的离心率为36，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON；2）对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角（∈R）使等式：OM＝cosOA＋sinOB成立。21．（本小题满分13分）我们知道：函数y＝f(x)如果存在反函数y＝f-1(x)，则y＝f(x)的图像与y＝f-1(x)图像关于直线y＝x对称。若y＝f(x)的图像与y＝f-1(x)的图像有公共点，其公共点却不一定都在直线y＝x上；例如函数f(x)＝1x。（1）若函数y＝f(x)在其定义域上是增函数，且y＝f(x)的图像与其反函数y＝f-1(x)的图像有公共点，证明这些公共点都在直线y＝x上；（2）对问题：“函数f(x)＝ax(a＞1)与其反函数f-1(x)＝logax的图像有多少个公共点？”有如下观点：观点①：“当a＞1时两函数图像没有公共点，只有当0＜a＜1时两函数图像才有公共点”。观点②：“利用（1）中的结论，可先讨论函数f(x)＝ax(a＞1)的图像与直线y＝x的公共点的个数，为此可构造函数F(x)＝ax－x(a＞1)，然后可利用F(x)的最小值进行讨论”。请参考上述观点，讨论函数f(x)＝ax(a＞1)与其反函数f-1(x)＝logax图像公共点的个数。海量资源尽在星星文库：数学试卷（理科）参考解答题序12345678910答案ACACDBDBBC11.4.12.[－1,－21)∪(0,21)..13.21。14.24.15.)2(2PxPy（3分）、34P（2分）。16.解：（1）∵a=(cos23x,sin23x),b=(cos2x,－sin2x)∴a·b＝cos23xcos2x＋sin23x（－sin2x）＝cos23xcos2x－sin23xsin2x＝cos（23x＋2x）＝cos2x………3分又易知：︱a︱＝1,︱b︱＝1∴︱a＋b︱2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2cos2x＝4cos2x，且x∈[0,2],∴︱a＋b︱＝2cosx.………6分（2)f(x)＝a·b－2︱a＋b︱＝cos2x－2(2cosx)＝2cos2x－4cosx－1＝2(cosx－)2－22－1………8分若＜0，当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，不合题意；若＞1，当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4，由题意有1－4＝－7，得＝2；若0≤≤1，当cosx＝时，f(x)取得最小值－22－1，由题意有－22－1＝－7，得＝±3(舍去)。海量资源尽在星星文库：综上所述：＝2。………12分17．解：1）由题意有：P甲＝0.8×0.85＝0.68；………3分P乙＝0.75×0.8＝0.6。………6分2）随机变量﹑的分布列分别是：………9分E＝100×0.68＋（－10）×0.32＝64.8；E＝150×0.6＋（－20）×0.4＝82。………12分18．解：1）过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF﹑EF。∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C，面DA1C内的直线DE⊥A1C∴直线DE⊥面AA1C1C………3分又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA1C1C由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF，从而有EF∥AA1，又点F是AC的中点，所以DB＝EF＝21AA1＝21BB1，所以D点为棱BB1的中点；………6分100－10P0.680.32150－20P0.60.4A1C1B1ACBA1DHEFG海量资源尽在星星文库：）解法1：延长A1D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA1B1B，过B作BH⊥A1G于点H，连CH，由三垂线定理知：A1G⊥CH，由此知∠CHB为二面角A－A1D－C的平面角；………9分设AA1＝2b，AB＝BC＝a；在直角三角形A1AG中，易知AB＝BG。在直角三角形DBG中，BH＝DGBGBD＝22baab，在直角三角形CHB中，tan∠CHB＝BHBC＝bba22，据题意有：bba22＝tan600＝3，解得：22ab，所以ABAA1＝2。………12分2）解法2：建立如图所示的直角坐标系，设AA1＝2b，AB＝BC＝a，则D（0,0,b）,A1(a,0,2b),C(0,a,0)所以，),,0(),,0,(1baDCbaDA………8分设面DA1C的法向量为),,(zyxn则00,00bzayxbzyaxA1C1B1ACBA1DyOxZ海量资源尽在星星文库：可取),,(abbn又可取平面AA1DB的法向量)0,,0(aBCmcos〈mn,〉222222200abbaabababmnmn………10分据题意有：21222abb，解得：ABAA1＝22ab………12分说明：考生的其他不同解法，请参照给分。19．解：1）因为对任意正整数n,m，当n＞m时，mnmmnSqSS总成立。所以当n≥2时：111SqSSnnn，即11nnqaa，且1a也适合，又na＞0，故当n≥2时：qaann1（非零常数），即｛na｝是等比数列。………5分2）若1q，则111,,kaSmaSnaSkmn。所以11211nkamnkaknSSkn≥mSmaammaknm222)2(211212。………7分若1q，则qqaSnn1)1(1，qqaSmm1)1(1，qqaSkk1)1(1。………8分所以knSS11≥212)1)(1()1(212aqqqSSknkn。………10分又因为knknknqqqqq)(1)1)(1(≤22)1(2121mmmknknqqqqq。所以knSS11≥212)1)(1()1(212aqqqSSknkn≥mmSaqq2)1()1(22122。海量资源尽在星星文库：综上可知：若正整数n,m,k成等差数列，不等式nS1＋kS1≥m