1112学年高中数学1512曲边梯形的面积与汽车行驶的路程同步练习新人教A版选修22

-1-选修2-21.5.1曲边梯形的面积、1.5.2汽车行驶的路程一、选择题1．和式i＝15(yi＋1)可表示为()A．(y1＋1)＋(y5＋1)B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)[答案]C[解析]i＝15(yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)＝y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5，故选C.2．在求由x＝a，x＝b(ab)，y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是()①n个小曲边梯形的面积和等于S；②n个小曲边梯形的面积和小于S；③n个小曲边梯形的面积和大于S；④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]A[解析]n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.∴①正确，②③④错误，故应选A.3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于()A．只能是左端点的函数值f(xi)B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D．以上答案均不正确[答案]C[解析]由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C正确，故应选C.4．(2010·惠州高二检测)求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为()-2-A.i－1n，inB.in，i＋1nC.t(i－1)n，tinD.t(i－2)n，t(i－1)n[答案]D[解析]在[0，t]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[0，t]等分成n个小区间，每个小区间的长度均为tn，故第i－1个区间为t(i－2)n，t(i－1)n，故选D.5．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是()A.119B.111256C.110270D.2564[答案]D[解析]s＝143＋243＋343＋13×14＝13＋23＋33＋4344＝2564.6．在等分区间的情况下，f(x)＝11＋x2(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是()A.limn→∞i＝1n[11＋in2·2n]B.limn→∞i＝1n[11＋2in2·2n]C.limn→∞i＝1n11＋i2·1nD.limn→∞i＝1n[11＋in2·n][答案]B[解析]将区间[0,2]进行n等分每个区间长度为2n，故应选B.二、填空题-3-7．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.[答案]3.925.528．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．[答案]55三、解答题9．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成曲边梯形的面积．[分析]按分割，近似代替，求和，取极限四个步骤进行．[解析]将区间[0,2]分成n个小区间，则第i个小区间为2(i－1)n，2in.第i个小区间的面积ΔSi＝f2(t－1)n·2n，∴Sn＝i＝1nf2(i－1)n·2n＝2ni＝1n4(i－1)2n2＝8n3i＝1n(i－1)2＝8n3[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＝8n3·(n－1)n(2n－1)6＝8(n－1)(2n－1)6n2.S＝limn→∞Sn＝limn→∞8(n－1)(2n－1)6n2＝83，∴所求曲边梯形面积为83.[点评]注意求平方和时，用到数列中的一个求和公式.12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)6.不要忘记对Sn求极限．10．汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？[分析]汽车行驶路程类似曲边梯形面积，根据曲边梯形面积思想，求和后再求极限值．[解析]将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为1＋i－1n，1＋in.-4-∴Δsi＝f1＋i－1n·1n.sn＝i＝1nf1＋i－1n·1n＝1ni＝1n1＋i－1n2＋2＝1ni＝1n(i－1)2n2＋2(i－1)n＋3＝1n3n＋1n2[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋1n[0＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)]＝3＋(n－1)(2n－1)6n2＋n－1n.s＝limn→∞sn＝limn→∞3＋(n－1)(2n－1)6n2＋n－1n＝133.∴这段时间行驶的路程为133km.11．求物体自由落体的下落距离：已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．[分析]选定区间→分割→近似代替→求和→取极限[解析](1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．把时间[0，t]分成n个小区间i－1nt，itn(i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段Δt＝itn－i－1nt＝tn，在各小区间物体下落的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．在i－1nt，itn上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，可取ξi使v(ξi)＝g(i－1)nt近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt＝tn内所经过的距离可近似表示为Δsi≈gi－1nt·tn(i＝1,2，…，n)．(3)求和：sn＝i＝1nΔsi-5-＝i＝1ngi－1n·t·tn＝gt2n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝12gt21－1n.(4)取极限：s＝limn→∞12gt21－1n＝12gt2.12．求由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线y＝1x2围成的图形的面积S.[解析](1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：1，n＋1n，n＋1n，n＋2n，…，n＋n－1n，2，记第i个区间为n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如下图)，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小区边梯形面积的和为S＝i＝1nΔSi.(2)近似代替记f(x)＝1x2.当n很大，即Δx很小时，在区间n＋i－1n，n＋in上，可以认为f(x)＝1x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f(n＋i－1n·n＋in)．从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间n＋i－1n，n＋in上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′＝fn＋i－1n·n＋inΔx＝n2(n＋i－1)(n＋i)·1n＝n(n＋i－1)(n＋i)(i＝1,2，…，n)．(3)求和-6-小曲边梯形的面积和Sn＝i＝1nΔSi≈i＝1nΔSi′＝i＝1nn(n＋i－1)(n＋i)＝nn(n＋1)＋n(n＋1)(n＋2)＋…＋n(n＋n－1)(n＋n)＝n1n－1n＋1＋1n＋1－1n＋2＋…＋1n＋n－1－1n＋n＝n1n－12n＝12.从而得到S的近似值S≈Sn＝12.(4)取极限分别将区间[1,2]等分成8,16,20，…等份时，Sn越来越趋向于S，从而有S＝limn→∞Sn＝12.∴由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝1x2围成的图形的面积S为12.