1112学年高中数学16微积分基本定理同步练习新人教A版选修22高中数学练习试题

-1-选修2-21.6微积分基本定理一、选择题1．下列积分正确的是()[答案]AA.214B.54C.338D.218[答案]A[解析]2－2x2＋1x4dx＝2－2x2dx＋2－21x4dx＝13x3|2－2＋－13x－3|2－2＝13(x3－x－3)|2－2＝138－18－13－8＋18＝214.故应选A.3.1－1|x|dx等于()A.1－1xdxB.1－1dxC.0－1(－x)dx＋01xdxD.0－1xdx＋01(－x)dx[答案]C[解析]∵|x|＝x(x≥0)－x(x0)-2-∴1－1|x|dx＝0－1|x|dx＋01|x|dx＝0－1(－x)dx＋01xdx，故应选C.4．设f(x)＝x2(0≤x1)2－x(1≤x≤2)，则02f(x)dx等于()A.34B.45C.56D．不存在[答案]C[解析]02f(x)dx＝01x2dx＋12(2－x)dx取F1(x)＝13x3，F2(x)＝2x－12x2，则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x∴02f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝13－0＋2×2－12×22－2×1－12×12＝56.故应选C.5.abf′(3x)dx＝()A．f(b)－f(a)B．f(3b)－f(3a)C.13[f(3b)－f(3a)]D．3[f(3b)－f(3a)][答案]C[解析]∵13f(3x)′＝f′(3x)∴取F(x)＝13f(3x)，则abf′(3x)dx＝F(b)－F(a)＝13[f(3b)－f(3a)]．故应选C.6.03|x2－4|dx＝()A.213B.223C.233D.253[答案]C-3-[解析]03|x2－4|dx＝02(4－x2)dx＋23(x2－4)dx＝4x－13x3|20＋13x3－4x|32＝233.A．－32B．－12C.12D.32[答案]D[解析]∵1－2sin2θ2＝cosθ8．函数F(x)＝0xcostdt的导数是()A．cosxB．sinxC．－cosxD．－sinx[答案]A[解析]F(x)＝0xcostdt＝sint|x0＝sinx－sin0＝sinx.所以F′(x)＝cosx，故应选A.9．若0k(2x－3x2)dx＝0，则k＝()A．0B．1C．0或1D．以上都不对[答案]C[解析]0k(2x－3x2)dx＝(x2－x3)|k0＝k2－k3＝0，∴k＝0或1.10．函数F(x)＝0xt(t－4)dt在[－1,5]上()A．有最大值0，无最小值B．有最大值0和最小值－323-4-C．有最小值－323，无最大值D．既无最大值也无最小值[答案]B[解析]F(x)＝0x(t2－4t)dt＝13t3－2t2|x0＝13x3－2x2(－1≤x≤5)．F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0得x＝0或x＝4，列表如下：x(－1,0)0(0,4)4(4,5)F′(x)＋0－0＋F(x)极大值极小值可见极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－323.又F(－1)＝－73，F(5)＝－253∴最大值为0，最小值为－323.二、填空题11．计算定积分：①1－1x2dx＝________②233x－2x2dx＝________③02|x2－1|dx＝________④0－π2|sinx|dx＝________[答案]23；436；2；1[解析]①1－1x2dx＝13x3|1－1＝23.②233x－2x2dx＝32x2＋2x|32＝436.③02|x2－1|dx＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝x－13x3|10＋13x3－x|21＝2.-5-[答案]1＋π213．(2010·陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．[答案]13[解析]长方形的面积为S1＝3，S阴＝013x2dx＝x3|10＝1，则P＝S1S阴＝13.14．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若1－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.[答案]－1或13[解析]由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，∴1－1f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或13.三、解答题15．计算下列定积分：(1)052xdx；(2)01(x2－2x)dx；(3)02(4－2x)(4－x2)dx；(4)12x2＋2x－3xdx.[解析](1)052xdx＝x2|50＝25－0＝25.(2)01(x2－2x)dx＝01x2dx－012xdx＝13x3|10－x2|10＝13－1＝－23.(3)02(4－2x)(4－x2)dx＝02(16－8x－4x2＋2x3)dx＝16x－4x2－43x3＋12x4|20-6-＝32－16－323＋8＝403.(4)12x2＋2x－3xdx＝12x＋2－3xdx＝12x2＋2x－3lnx|21＝72－3ln2.16．计算下列定积分：[解析](1)取F(x)＝12sin2x，则F′(x)＝cos2x＝121－32＝14(2－3)．(2)取F(x)＝x22＋lnx＋2x，则F′(x)＝x＋1x＋2.∴23x＋1x2dx＝23x＋1x＋2dx＝F(3)－F(2)＝92＋ln3＋6－12×4＋ln2＋4＝92＋ln32.(3)取F(x)＝32x2－cosx，则F′(x)＝3x＋sinx-7-17．计算下列定积分：(1)0－4|x＋2|dx；(2)已知f(x)＝，求3－1f(x)dx的值．[解析](1)∵f(x)＝|x＋2|＝∴0－4|x＋2|dx＝－－4－2(x＋2)dx＋0－2(x＋2)dx＝－12x2＋2x|－2－4＋12x2＋2x|0－2＝2＋2＝4.(2)∵f(x)＝∴3－1f(x)dx＝0－1f(x)dx＋01f(x)dx＋12f(x)dx＋23f(x)dx＝01(1－x)dx＋12(x－1)dx＝x－x22|10＋x22－x|21＝12＋12＝1.18．(1)已知f(a)＝01(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值；(2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，01f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．[解析](1)取F(x)＝23ax3－12a2x2则F′(x)＝2ax2－a2x∴f(a)＝01(2ax2－a2x)dx＝F(1)－F(0)＝23a－12a2＝－12a－232＋29-8-∴当a＝23时，f(a)有最大值29.(2)∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2①又∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0②而01f(x)dx＝01(ax2＋bx＋c)dx取F(x)＝13ax3＋12bx2＋cx则F′(x)＝ax2＋bx＋c∴01f(x)dx＝F(1)－F(0)＝13a＋12b＋c＝－2③解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.