1112学年高中数学17定积分的简单应用同步练习新人教A版选修22高中数学练习试题

-1-选修2-21.7定积分的简单应用一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积为()A.abf(x)dxB.abg(x)dxC.ab[f(x)－g(x)]dxD.ab[g(x)－f(x)]dx[答案]C[解析]由题图易知，当x∈[a，b]时，f(x)g(x)，所以阴影部分的面积为ab[f(x)－g(x)]dx.2．如图所示，阴影部分的面积是()A．23B．2－3C.323D.353[答案]C[解析]S＝1－3(3－x2－2x)dx即F(x)＝3x－13x3－x2，则F(1)＝3－1－13＝53，F(－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S＝F(1)－F(－3)＝53＋9＝323.故应选C.3．由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A.02(x2－1)dx-2-B．|02(x2－1)dx|C.02|x2－1|dxD.01(x2－1)dx＋12(x2－1)dx[答案]C[解析]y＝|x2－1|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.4．设f(x)在[a，b]上连续，则曲线f(x)与直线x＝a，x＝b，y＝0围成图形的面积为()A.abf(x)dxB．|abf(x)dx|C.ab|f(x)|dxD．以上都不对[答案]C[解析]当f(x)在[a，b]上满足f(x)0时，abf(x)dx0，排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，abf(x)dx是两面积之差，排除B；无论什么情况C对，故应选C.5．曲线y＝1－1681x2与x轴所围图形的面积是()A．4B．3C．2D.52[答案]B[解析]曲线与x轴的交点为－94，0，94，0故应选B.6．一物体以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直线运动，则它在t＝0s到t＝3s时间段内的位移是()A．31mB．36mC．38mD．40m[答案]B-3-[解析]S＝03(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)|30＝33＋32＝36(m)，故应选B.7．(2010·山东理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()A.112B.14C.13D.712[答案]A[解析]由y＝x2y＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S＝01(x2－x3)dx＝13x3－14x410＝112.8．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A．8JB．10JC．12JD．14J[答案]D[解析]由变力做功公式有：W＝13(4x－1)dx＝(2x2－x)|31＝14(J)，故应选D.9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为()A.12B．3－322C．6＋32D．6－32[答案]D[解析]3636tdt＝66t|63＝6－32，故应选D.10．过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a0)所围成的图形面积为92a3，则直线l的方程为()A．y＝±axB．y＝axC．y＝－axD．y＝－5ax[答案]B[解析]设直线l的方程为y＝kx，-4-由y＝kxy＝x2－2ax得交点坐标为(0,0)，(2a＋k,2ak＋k2)图形面积S＝∫2a＋k0[kx－(x2－2ax)]dx＝k＋2a2x2－x33|2a＋k0＝(k＋2a)32－(2a＋k)33＝(2a＋k)36＝92a3∴k＝a，∴l的方程为y＝ax，故应选B.二、填空题11．由曲线y2＝2x，y＝x－4所围图形的面积是________．[答案]18[解析]如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组y2＝2xy＝x－4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S＝4－2(y＋4－y22)dy取F(y)＝12y2＋4y－y36，则F′(y)＝y＋4－y22，从而S＝F(4)－F(－2)＝18.12．一物体沿直线以v＝1＋tm/s的速度运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是________．13．由两条曲线y＝x2，y＝14x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．[答案]43[解析]如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，y＝1与y＝x24交点B(2,1)，由对称性可知面-5-积S＝2(01x2dx＋12dx－0214x2dx)＝43.14．一变速运动物体的运动速度v(t)＝2t(0≤t≤1)at(1≤t≤2)bt(2≤t≤e)则该物体在0≤t≤e时间段内运动的路程为(速度单位：m/s，时间单位：s)______________________．[答案]9－8ln2＋2ln2[解析]∵0≤t≤1时，v(t)＝2t，∴v(1)＝2；又1≤t≤2时，v(t)＝at，∴v(1)＝a＝2，v(2)＝a2＝22＝4；又2≤t≤e时，v(t)＝bt，∴v(2)＝b2＝4，∴b＝8.∴路程为S＝012tdt＋122tdt＋2e8tdt＝9－8ln2＋2ln2.三、解答题15．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．[解析]由y＝x＋3y＝x2－2x＋3解得x＝0及x＝3.从而所求图形的面积-6-S＝03(x＋3)dx－03(x2－2x＋3)dx＝03[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝03(－x2＋3x)dx＝－13x3＋32x2|30＝92.16．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)若直线x＝－t(0＜t＜1)把y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．[解析](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根．∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)依题意有－1－t(x2＋2x＋1)dx＝0－t(x2＋2x＋1)dx，∴13x3＋x2＋x|－t－1＝13x3＋x2＋x|0－t即－13t3＋t2－t＋13＝13t3－t2＋t.∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－132.17．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：(1)A、C间的距离；(2)B、D间的距离；(3)电车从A站到B站所需的时间．[解析](1)设A到C经过t1s，由1.2t＝24得t1＝20(s)，所以AC＝∫2001.2tdt＝0.6t2|200＝240(m)．-7-(2)设从D→B经过t2s，由24－1.2t2＝0得t2＝20(s)，所以DB＝∫200(24－1.2t)dt＝240(m)．(3)CD＝7200－2×240＝6720(m)．从C到D的时间为t3＝672024＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．18．在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112，试求：(1)切点A的坐标；(2)过切点A的切线方程．[解析]如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过A点的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x20.令y＝0得x＝x02，即Cx02，0.设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，S＝S曲边△AOB－S△ABC.S曲边△AOB＝∫x00x2dx＝13x30，S△ABC＝12|BC|·|AB|＝12x0－x02·x20＝14x30，即S＝13x30－14x30＝112x30＝112.所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.