1112学年高中数学311数系的扩充与复数的概念同步练习新人教A版选修22高中数学练

-1-选修2-23.1第1课时数系的扩充与复数的概念一、选择题1．下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R且ab，则a＋i3b＋i2；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是()A．①B．②C．③D．④[答案]D[分析]由复数的有关概念逐个判定．[解析]对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2．(2010·四川理，1)i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝()A．－1B．1C．－iD．i[答案]A[解析]i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.3．下列命题中假命题是()A.i2不是分数B.3i不是无理数C．－i2是实数D．若a∈R，则ai是虚数[答案]D[解析]当a＝0时，ai是实数，所以D是假命题，故应选D.4．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列结论正确的是()-2-A．a＝0⇔a＋bi为纯虚数B．b＝0⇔a＋bi为实数C．a＋(b－1)i＝3＋2i⇔a＝3，b＝－3D．－1的平方等于i[答案]B[解析]a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数，A错误，B正确．a＋(b－1)i＝3＋2i⇒a＝3，b＝3，C错误．(－1)2＝1，D错误．故应选B.5．若z的实部为lgx2，虚部为lg2x，x是正实数，那么()A．使z的实部、虚部都是正数的x的集合是(1，＋∞)B．使z的虚部为负数的x的集合是(0,1)C．使z的实部和虚部互为相反数的x的集合是{1}D．使z的实部和虚部互为倒数的x的集合是342[答案]A[解析]由lgx20lg2x0解得x1，A正确．故应选A.6．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b|B．a0且a＝－bC．a0且a≠bD．a≤0[答案]D[解析]复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，而|a|＝－a，∴a≤0，故应选D.7．若sin2θ－1＋i(2cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为()A．2kπ－π4B．2kπ＋π4C．2kπ±π4D.kπ2＋π4(以上k∈Z)[答案]B-3-[解析]由sin2θ－1＝02cosθ＋1≠0得2θ＝2kπ＋π2θ≠2kπ＋π±π4(k∈Z)∴θ＝2kπ＋π4.选B.8．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则()A．a＝－1B．a≠－1且a≠2C．a≠－1D．a≠2[答案]C[解析]若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.9．下列命题中哪个是真命题()A．－1的平方根只有一个B．i是1的四次方程C．i是－1的立方根D．i是方程x6－1＝0的根[答案]B[解析]∵(±i)2＝－1，∴－1的平方根有两个，故A错；∵i3＝－i≠－1.∴i不是－1的立方根；∴C错；∵i6＝i2＝－1，∴i6－1≠0故i不是方程x6－1＝0的根，故D错；∵i4＝1，∴i是1的四次方根，故选B.10．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于()A．3＋iB．3－iC．－3－iD．－3＋i[答案]B[解析]由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0即n2＋mn＋2＝02n＋2＝0，解得m＝3n＝－1.-4-∴z＝3－i，故应选B.二、填空题11．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________.[答案]2[解析]方程可化为2x2－3x－2＝0x2－5x＋6＝0解得x＝2.12．如果z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为________．[答案]－2[解析]如果z为纯虚数，需a2＋a－2＝0a2－3a＋2≠0，解之得a＝－2.13．已知复数z＝3x－1－x＋(x2－4x＋3)i0，则实数x＝________.[答案]1[解析]复数z能与0比较大小，则复数一定是实数，由题意知3x－1－x0x2－4x＋3＝0，解得x＝1.14．已知复数z1＝m＋(4＋m)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3cosθ)i(λ∈R)，若z1＝z2，则λ的取值范围是______．[答案][3,5][解析]∵z1＝z2，∴m＝2cosθ4＋m＝λ＋3cosθ∴λ＝4－cosθ.又∵－1≤cosθ≤1，∴3≤4－cosθ≤5，∴λ∈[3,5]．三、解答题15．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，求实数m的值．[解析]∵log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，∴log2(m2－3m－3)＝0log2(m－2)≠0∴m＝4，故当m＝4时，log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)是纯虚数．16．已知复数z＝a2－7a＋6a2－1＋(a2－5a－6)i(a∈R)．实数a取什么值时，z是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解析](1)当z为实数时，则有a2－5a－6＝0，a2－1≠0，-5-所以a＝－1或a＝6，a≠±1.所以当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，则有a2－5a－6≠0，a2－1≠0，所以a≠－1或a≠6，a≠±1.即a≠±1且a≠6.所以当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，则有a2－5a－6≠0，a2－7a＋6a2－1＝0.所以a≠－1且a≠6，a＝6.所以不存在实数a使得z为纯虚数．17．若x∈R，试确定a是什么实数时，等式3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i成立．[解析]由复数相等的充要条件，得3x2－a2x－1＝0，①10－x－2x2＝0.②由②得x＝2或x＝－52，代入①，得a＝11或a＝－715.18．已知z1＝cosα－45＋isinα－35，z2＝cosβ＋isinβ，且z1＝z2，求cos(α－β)的值．[解析]由复数相等的充要条件，知cosα－45＝cosβ，sinα－35＝sinβ.即cosα－cosβ＝45，①sinα－sinβ＝35.②①2＋②2得2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝1，即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝12.-6-