1112学年高中数学321复数代数形式的加减运算及其几何意义同步练习新人教A版选修22

-1-选修2-23.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义一、选择题1．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1－z2是纯虚数，则有()A．a－c＝0且b－d≠0B．a－c＝0且b＋d≠0C．a＋c＝0且b－d≠0D．a＋c＝0且b＋d≠0[答案]A[解析]z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，∵z1－z2是纯虚数，∴a－c＝0且b－d≠0.故应选A.2．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于()A．－2b－2biB．－2b＋2biC．－2a－2biD．－2a－2ai[答案]A[解析]原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i＝－2b－2bi.3．如果一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是()A.115B.3iC.115＋3iD.115＋23i[答案]C[解析]设这个复数为a＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝a2＋b2.由题意知a＋bi＋a2＋b2＝5＋3i即a＋a2＋b2＋bi＝5＋3i-2-∴a＋a2＋b2＝5b＝3，解得a＝115，b＝3.∴所求复数为115＋3i.故应选C.4．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]A[解析]∵z1＝3＋2i，z2＝1－3i，∴z＝z1－z2＝3＋2i－(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i＝2＋5i.∴点Z位于复平面内的第一象限．故应选A.5．▱ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是()A．2－3iB．4＋8iC．4－8iD．1＋4i[答案]C[解析]AB→对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，设点D对应的复数为z，则DC→对应的复数为(3－5i)－z.由平行四边形法则知AB→＝DC→，∴－1＋3i＝(3－5i)－z，∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C.6．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，若z1－z2＝0，则m的值为()A．4B．－1C．6D．0[答案]B[解析]z1－z2＝(m2－3m＋m2i)－[4＋(5m＋6)i]＝(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i＝0-3-∴m2－3m－4＝0m2－5m－6＝0解得m＝－1，故应选B.7．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝()A．－3iB．3iC．±3iD．4i[答案]B[解析]令z＝a＋bi(a，b∈R)，则a2＋b2＝9①又z＋3i＝a＋(3＋b)i是纯虚数∴a＝0b＋3≠0②由①②得a＝0，b＝3，∴z＝3i，故应选B.8．已知z1，z2∈C且|z1|＝1，若z1＋z2＝2i，则|z1－z2|的最大值是()A．6B．5C．4D．3[答案]C[解析]设z1＝a＋bi(a，b∈R，a2＋b2＝1)z2＝c＋di(c，d∈R)∵z1＋z2＝2i∴(a＋c)＋(b＋d)i＝2i∴a＋c＝0b＋d＝2∴c＝－ad＝2－b，∴|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i|＝|2a＋(2b－2)i|＝(2a)2＋(2b－2)2＝2a2＋(b－1)2＝2a2＋b2＋1－2b＝22－2b.∵a2＋b2＝1，∴－1≤b≤1∴0≤2－2b≤4，∴|z1－z2|≤4.9．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为()A．2B．4-4-C．42D．82[答案]C[解析]∵|z－4i|＝|z＋2|，且z＝x＋yi∴|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2∴x＝－2y＋3，∴2x＋4y＝2－2y＋3＋4y＝8·14y＋4y≥42.10．若x∈C，则方程|x|＝1＋3i－x的解是()A.12＋32iB．x1＝4，x2＝－1C．－4＋3iD.12＋32i[答案]C[解析]令x＝a＋bi(a，b∈R)则a2＋b2＝1＋3i－a－bi所以a2＋b2＝1－a0＝3－b，解得a＝－4b＝3故原方程的解为－4＋3i，故应选C.二、填空题11．若z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，x2，y1，y2∈R)，则|z2－z1|＝______________.[答案](x2－x1)2＋(y2－y1)2[解析]∵z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，∴z2－z1＝(x2－x1)＋(y2－y1)i，∴|z2－z1|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.12．已知z1＝32a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝43，则a＋b＝________.[答案]3[解析]z1－z2＝32a＋(a＋1)i－[－33b＋(b＋2)i]＝32a＋33b＋[(a＋1)－(b＋-5-2)i]＝32a＋33b＋(a－b－1)i＝43，∴32a＋33b＝43a－b－1＝0，解之得a＝2b＝1，∴a＋b＝3.13．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝______.[答案]16i[解析]原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.14．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，BA→对应的复数为1＋2i，向量BC→对应的复数为3－i，则点C对应的复数为________．[答案]4－2i[解析]∵BA→对应的复数是1＋2i，BC→对应的复数为3－i，∴AC→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC→＝OA→＋AC→，∴C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.三、解答题15．计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．[解析]解法1：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.解法2：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋[－6＋(－1－4)]i＝0＋(－11)i＝－11i.16．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a－2＋i，若|z1－z2||z1|，求实数a的取值范围．[解析]z1－z2＝2＋3i－[(a－2)＋i]＝[2－(a－2)]＋(3－1)i＝(4－a)＋2i由|z1－z2||z1|得∴(4－a)2＋44＋9，∴(4－a)29，∴1a7∴a的取值范围为(1,7)．-6-17．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝513＋1213i，求cos(α＋β)的值．[解析]∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝513＋1213i∴cosα－cosβ＝513①sinα＋sinβ＝1213②①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1即cos(α＋β)＝12.18．(1)若f(z)＝z＋1－i，z1＝3＋4i，z2＝－2＋i，求f(z1－z2)；(2)z1＝2cosθ－i，z2＝－2＋2isinθ(0≤θ≤2π)，且z1＋z2对应的点位于复平面的第二象限，求θ的范围．[解析](1)z1－z2＝3＋4i－(－2＋i)＝5＋3i，f(z1－z2)＝(z1－z2)＋(1－i)＝5＋3i＋1－i＝6＋2i.(2)z1＋z2＝(2cosθ－i)＋(－2＋2isinθ)＝(2cosθ－2)＋(2sinθ－1)i，由题意得：2cosθ－202sinθ－10，即cosθ22sinθ12又θ∈[0,2π]，故θ∈π4，56π.