2010年北京东城区高考一模试题数学文

海量资源尽在星星文库：—2010学年度高三综合练习（一）数学试题（文）本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。参考公式：样本方差])()()[(1222212xxxxxxnsn，其中x为样本平均数。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．计算复数ii11的结果为（）A．－iB．IC．－1D．12．设集合A={1，2，4，6}，B={2，3，5}，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{3，5}C．{1，4，6}D．{3，5，7，8}3．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是（）A．226B．26C．225D．25主视图侧视图4．已知变量x，y满足.0,2,1yxyx则x+y的最小值为（）俯视图A．2B．3C．4D．55．按如图所示的程序框图运算，若输入x=6，则输出k的值是（）A．3B．4C．5D．66．某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（）海量资源尽在星星文库：．131B．91C．41D．217．已知圆04122mxyx与抛物线241xy的准线相切，则m的值等于（）A．2B．3C．2D．38．已知函数)(tf是奇函数且是R上的增函数，若x，y满足不等式)2()2(22yyfxxf，则22yx的最大值是（）A．3B．22C．8D．12第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡相应位置的横线上.9．已知命题0log),,1(:3xxp，则p为.10．经过点（－2，3）且与直线052yx垂直的直线方程为.11．设}{na是等比数列，若8,141aa，则q=，数列}{na的前6项的和S6=.12．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10nmile，75,60ABCBAC,则B，C间的距离是nmile.13．向量a，b满足：0)(,1||,2||bbaba，则a与b的夹角是.14．点P是椭圆1162522yx上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）设函数xxxxf2coscossin3)(（1）求)(xf的最小正周期；（2）当2,0x时，求函数)(xf的最大值和最小值.海量资源尽在星星文库：．（本小题满分13分）在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下.（1）计算样本的平均成绩及方差；（2）在这10个样本中，现从不低于84分的成绩中随机抽取2个，求93分的成绩被抽中的概率.17．（本小题满分14分）三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边中点，且CC1=2AB.（1）求证：平面C1CD⊥平面ABC；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求三棱锥D—CBB1的体积.18．（本小题满分13分）已知函数axaxxf(ln)(R）.（1）若曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线与直线01yx平行，求a的值；om]（2）求函数)(xf的单调区间和极值；（3）当1a，且1x时，证明：.1)(xf19．（本小题满分13分）已知椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率为23，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线02yx相切.[来（1）求椭圆C的方程；（2）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点.海量资源尽在星星文库：．（本小题满分14分）已知数列}{},{nnba，其中211a，数列}{na的前n项和)(2NnanSnn，数列}{nb满足b1=2，bn+1=2bn.（1）求数列}{},{nnba的通项公式；（2）是否存在自然数m，使得对于任意2,nNn，有481111121mbbbn恒成立？若存在，求出m的最小值；（3）若数列}{nc满足,,,,1为偶数为奇数nbnnacnnn求数列}{nc的前n项和Tn.海量资源尽在星星文库：参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1—8ABCABBDC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．030(1,),log0xx10．280xy11．2，6312．513．120°14．83注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题满分13分）解：（I）311()sin2cos2222fxxx1sin(2).62x………………6分2,()2Tfx故的最小正周期为.………………7分（II）因为20x，所以.65626x…………………………………………9分所以当)(,3,262xfxx时即有最大值0，……………11分[当.23)(,0,662有最小值时即xfxx………………13分16．（本小题满分13分）解：（I）样本的平均成绩x=80.……………………………………3分样本方差为222222222221[(9280)(9880)(9880)(8580)(8580)10(7480)(7480)(7480)(6080)(6080)]174.4s海量资源尽在星星文库：………………………………………………………………………………6分（II）设A表示随机事件“93分的成绩被抽中”，从不低于84分的成绩中随机抽取2个的样本总数是：（98，84），（98，86），（98，93），（98，97），（97，84），（97，86），（97，93），（93，84），（93，86），（86，84）共10种。而事件A含有4个基本事件：（98，93），（97，93），（93，84），（93，86）。所以所求概率为42.105P………………13分17．（本小题满分14分）（I）证明：因为CC1⊥平面ABC，又CC1平面C1CD，所以平面C1CD⊥平面ABC。………………4分（II）证明：连结BC1交B1C于O，连结DO。则O是BC1的中点，DO是△BAC1的中位线。所以DO//AC1。…………6分因为DO平面CDB1。………………9分（III）解：因为CC⊥平面ABC，所以BB1⊥平面ABC，所以BB1为三棱锥D—CBB1的高。………………11分112111132324.33243DCBBBCBDBCDVVSBB所以三棱锥D—CBB1的体积为23.3………………14分18．（本小题满分13分）解：（I）函数(){|0},fxxx的定义域为所以21ln().xafxx又曲线()(1,(1))yfxf在点处的切线与直线10xy平行，所以(1)11,0.faa即………………4分（II）令1()0,.afxxe得当x变化时，(),()fxfx的变化情况如下表：海量资源尽在星星文库：(0,)ae1ae1(,)ae[来()fx+0—()fx极大值由表可知：()fx的单调递增区间是1(0,)ae，单调递减区间是1(,)ae所以1()afxxe在处取得极大值，11()().anfxfee极大值…………9分（III）当ln11,().xafxx时由于ln11,,()1,xxfxx要证只需证明ln1.xx令11()ln1,()1.xhxxxhxxx则因为1x，所以,1)(,0)('在故xhxh上单调递增，当,0)1()(,1hxhx时即xx1ln成立。故当1x时，有.1)(,11lnxfxx即…………13分19．解：（I）由题意知,23ace所以.4,4322222222baabaace即又因为.1,4,11222bab所以故椭圆C的方程为.14:22yxC…………4分（II）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为).4(xky①…………6分海量资源尽在星星文库：)464)(14(4)32(2222kkk得0,01122kk又不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是.630063kk或…………8分[（III）设点),(),,(),,(112211yxMyxEyxN则直线ME的方程为).(212122xxxxyyyy令.)(,0121222yyxxyxxy得…………10分将)4(),4(2211xkyxky代入，整理，得.8)(42212121xxxxxxx②由①得14464,143222212221kkxxkkxx代入②整理，得.1x所以直线ME与x轴相交于定点（1，0）…………13分20．（本小题满分14分）解：（I）因为).(*2NnanSnn当2n时，.)1(121nnanS所以.)1(1221nnnnnananSSa所以.)1()1(1nnanan即.111nnaann又,211a海量资源尽在星星文库：.)1(121314213211nnnnnnnn…………3分当n=1时，上式成立。因为,2,211nnbbb所以}{nb是首项为2，公比为2的等比数列，故.2nnb…………5分[（II）由（I）知，.2nnb则.2122121211111111121nnnbbb…………7分假设存在自然数m，使得对于任意2,*nNn，有481111121mbbbn恒成立，即482121mn恒成立，由248m，解得.16m所以存在自然数m，使得对于任意,2,*nNn有481111121mbbbn恒成立，此时，m的最小值为16。…………10分（III）当n为奇数时，)()1311(14231nnnbbbnaaaT41)41(421212)222()]1(42[21142nnnnn海量资源尽在星星文库：).12(34422nnn…………12分当n为偶数时，)(])1(1311[42131nnnbbbanaaT).12(344241)41(4222)222()42(2242nnnnnnnn因此.),12(3442,),12(34434212为偶数时当为奇数时当nnnnnnTnnn…………14分