2010年北京崇文区高三第二学期统一练习数学理

BOCAP崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（一）高三数学（理科）2010.4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知全集UR，集合|12Axx，2|680Bxxx，则集合UABð（A）|14xx（B）|14xx（C）|23xx（D）|23xx（2）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为25的样本，应抽取不超过45岁的职工人数为(A)5(B)10（C）15（D）50（3）已知PA是O的切线，切点为A，2PA，AC是O的直径，PC交O于点B，30PAB，则O的半径为（A）1（B）2（C）3（D）23（4）已知等比数列na为递增数列，且373aa，282aa，则117aa（A）2（B）43（C）32（D）12（5）已知,mn是两条不同直线，,,是三个不同平面，下列命题中正确的为（A）若,,则（B）若,,mn则mn（C）若,mn，则mn（D）若,,mm则（6）设33,(3),32xyxyxyMNP（其中0xy），则,,MNP大小关系为（A）MNP（B）NPM（C）PMN（D）PNM（7）2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为（A）36（B）42（C）48（D）60（8）设定义在R上的函数1,(1),1()1,(1)xxfxx．若关于x的方程2()()0fxbfxc有3个不同的实数解1x，2x，3x，则123xxx等于（A）3（B）2（C）1b（D）c开始结束1,1,1iMN5i1iiMNMNNM输出,MN是否崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（一）高三数学（理科）2010.4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）如果复数2i1imm（其中i是虚数单位）是实数，则实数m___________．（10）若123()axx的展开式中的常数项为220，则实数a___________．（11）将参数方程12cos,2sin,xy（为参数）化成普通方程为．（12）某程序框图如图所示，该程序运行后输出,MN的值分别为．（13）若数列{}na的前n项和为nS，则11,(1),,(2)nnnSnaSSn．若数列{}nb的前n项积为nT，类比上述结果，则nb=_________；此时，若2()nTnnN，则nb=___________．（14）定义在R上的函数满足1(0)0,()(1)1,()()52xffxfxffx，且当1201xx时，12()()fxfx，则1()2010f_________________．101520253035产品数量00.020.030.040.050.06频率/组距B1A1C1BCAMN三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题共12分）在ABC中，角CBA,,所对的边分别为cba,,，满足5sin25A，且ABC的面积为2．（Ⅰ）求bc的值；（Ⅱ）若6cb，求a的值．（16）（本小题共13分）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为10,15，15,20，20,25,25,30，[30,35],频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在20,25之间的工人有6位．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）工厂规定从各组中任选1人进行再培训，则选取5人的概率是多少？（17）（本小题共14分）三棱柱111CBAABC中，侧棱与底面垂直，90ABC，12ABBCBB，,MN分别是AB，1AC的中点．（Ⅰ）求证：MN平面11BBCC；（Ⅱ）求证：MN平面CBA11；（Ⅲ）求二面角11ACBM的余弦值．（18）(本小题共14分）已知322()69fxxaxax（aR）．（Ⅰ）求函数()fx的单调递减区间；（Ⅱ）当0a时，若对0,3x有()4fx恒成立，求实数a的取值范围．（19）（本小题共14分）已知抛物线24yx，点(1,0)M关于y轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于,AB两点．（Ⅰ）证明：直线,NANB的斜率互为相反数；（Ⅱ）求ANB面积的最小值；（Ⅲ）当点M的坐标为(,0)(0mm，且1)m．根据（Ⅰ）（Ⅱ）推测并回答下列问题（不必说明理由）：①直线,NANB的斜率是否互为相反数？②ANB面积的最小值是多少？（20）(本小题共13分)已知数列na中，11a，21(0aaa且1)a，其前n项和为nS，且当2n时，1111nnnSaa．（Ⅰ）求证：数列nS是等比数列；（Ⅱ）求数列na的通项公式；（Ⅲ）若4a，令19(3)(3)nnnnabaa，记数列nb的前n项和为nT．设是整数，问是否存在正整数n，使等式13758nnTa成立？若存在，求出n和相应的值；若不存在，请说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（一）高三数学（理科）参考答案及评分标准2010.4一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DCCABDCA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）1（10）1（11）2214xy（12）13,21（13）11(1)(2)nnnTnbTnT；221(1)(2)1nnbnnn（14）132三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共12分）解：（Ⅰ）∵,552sinAA0∴25cos25A.∴4sin2sincos225AAA.∵2sin21AbcSABC，∴5bc.--------------------6分（Ⅱ）∵,552sinA∴532sin21cos2AA.∵5bc，6cb，∴Abccbacos2222)cos1(2)(2Abccb20∴52a.-----------12分（16）（共13分）B1A1C1BCAMNzxy解：（Ⅰ）根据直方图可知产品件数在20,25内的人数为50.066m，则20m（位）．----------------6分（Ⅱ）根据直方图可知产品件数在10,15，15,20，20,25,25,30，[30,35],组内的人数分别为2，4，6,5，3．设选取这5人不在同组为B事件，则5202465315()323PBC．答：选取这5人不在同组的概率为15323．----------------13分（17）（共14分）（Ⅰ）证明：连结1BC，1AC．在1ABC中，,MN是AB,CA1的中点，||MN1BC．又MN平面11BBCC，||MN平面11BBCC．--------------------4分（Ⅱ）如图，以1B为原点建立空间直角坐标系xyzB1．则)0,0,0(1B，(0,2,2)C，1(2,0,0)A，(1,0,2)M，(1,1,1)N1BC(0,2,2)，)0,0,2(11BA，(0,1,1)NM．设平面CBA11的法向量为(,,)xyzn．111000BCxyzABnn令1z，则0,1xy，(0,1,1)n．NMn=．MN平面CBA11．--------------------9分（Ⅲ）设平面CMB1的法向量为000(,,)xyzm1(1,0,2)BM．001001200xzBCyzBMmm令01z，则002,1xy(2,1,1)m．23cos,||||326nmnmnm．所求二面角11ACBM的余弦值为33．--------------------14分（18）（共14分）解：（Ⅰ）22'()31293()(3)0fxxaxaxaxa（1）当3aa，即0a时，2'()30fxx，不成立．（2）当3aa，即0a时，单调减区间为(3,)aa．（3）当3aa，即0a时，单调减区间为(,3)aa．-------------------5分（Ⅱ）22'()31293()(3)fxxaxaxaxa，()fx在(0,)a上递增，在(,3)aa上递减，在(3,)a上递增．（1）当3a时，函数()fx在[0,3]上递增，所以函数()fx在[0,3]上的最大值是(3)f，若对0,3x有()4fx恒成立，需要有(3)4,3,fa解得a．（2）当13a时，有33aa，此时函数()fx在[0,]a上递增，在[,3]a上递减，所以函数()fx在[0,3]上的最大值是()fa，若对0,3x有()4fx恒成立，需要有()4,13,faa解得1a．（3）当1a时，有33a，此时函数()fx在[,3]aa上递减，在[3,3]a上递增，所以函数()fx在[0,3]上的最大值是()fa或者是(3)f．由2()(3)(3)(43)fafaa，①304a时，()(3)faf，若对0,3x有()4fx恒成立，需要有(3)4,30,4fa解得233[1,]94a．②314a时，()(3)faf，若对0,3x有()4fx恒成立，需要有()4,31,4faa解得3(,1)4a．综上所述，23[1,1]9a．-------------14分（19）（共14分）解：（Ⅰ）设直线l的方程为1(0)ykxk．由21,4,ykxyx可得2222240kxkxk．设1122,,,AxyBxy，则21212224,1kxxxxk．124yy1,0N1212221212441144NANByyyykkxxyy2212212112222212124444(4444)04444yyyyyyyyyyyy．又当l垂直于x轴时，点,AB关于x轴，显然0,NANBNANBkkkk．综上，0,NANBNANBkkkk．----------------5分（Ⅱ）212121212448NABSyyyyyyxx=21414k．当l垂直于x轴时，4NABS．∴ANB面积的最小值等于4．----------------10分（Ⅲ）推测：①NANBkk；②A