2010年北京朝阳区高考二模数学理科试题word版含解析

海量资源尽在星星文库：～2010学年度高三年级第二学期统一考试（二）数学学科测试（理工类）2010.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合1{2}2xAx-=?-，{4,2,0,1}B=--，则ABI等于（A）{4,2,0,1}--（B）{2,0,1}-（C）{4}-（D）Æ（2）已知向量(1,2)=a，(3,2)=-b，如果k+ab与3-ab垂直，那么实数k的值为（A）19（B）13（C）119（D）19（3）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（A）112（B）80（C）72（D）64（第3题图）（第4题图）开始n=n+1x=2x+1n≤4输出x结束缚是否n=1，x=a4俯视图正视图侧视图443海量资源尽在星星文库：（4）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a等于（A）1（B）0（C）1（D）2（5）已知平面a，b，直线la^，直线mbÌ，有下面四个命题：①ab∥Þlm^②ab^Þlm∥③lm∥Þab^④lm^Þab∥其中正确的命题是（A）①与②（B）③与④（C）①与③（D）②与④（6）函数2()(2)exfxxx=-的图象大致是（7）已知椭圆22221(0)xyabab，A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点.若ABBF，则该椭圆的离心率为（A）512（B）512（C）514（D）514（8）已知函数222()(1)2fxaxbxb=--+（11ba--）.用()cardA表示集合A中元素的个数，若使得()0fx成立的充分必要条件是xAÎ，且()4cardA=ZI，则实数a的取值范围是（A）(1,2)-（B）(1,2)（C）(2,3)（D）(3,4)（A）（B）（C）（D）海量资源尽在星星文库：卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）不等式组0,10,3260xxyxyìïïïï--íïï--ïïî≥≥≤所表示的平面区域的面积等于.（10）已知圆4cos:3sinxCyqqì=+ïïíï=+ïî（q为参数），直线:230lxy-+=，则圆心C到直线l的距离为.（11）如右图，从圆O外一点P引两条直线分别交圆O于点、AB，、CD，且PAAB=，5PC=,9CD=，则AB的长等于.（12）如果1()nxx+展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n=，展开式中的常数项的值等于.（13）上海世博园中的世博轴是一条1000m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图所示）.现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是m.（14）已知数列{}na为等差数列，若maa=，nab=（1nm-≥，,mn*ÎN），则mnnbmaanm+-=-.类比等差数列{}na的上述结论，对于等比数列{}nb（0nb，n*ÎN）若mbc=，nbd=（nm-≥2，,mn*ÎN），则可以得到mnb+=.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.CB世博轴·A中国馆120ºCAPBDO海量资源尽在星星文库：(15)（本小题满分13分）设函数()2sincoscos(2)6fxxxx．（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）当2[0,]3x时，求函数()fx的最大值及取得最大值时的x的值.(16)（本小题满分13分）袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球.（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取1个球，求取出1个红球2个黑球的概率；（Ⅱ）若无放回地取3次，每次取1个球，①求在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率；②求取出的红球数X的分布列和均值（即数学期望）.(17)（本小题满分14分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点.（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE平面SAC；（Ⅲ）当二面角EBDC的大小为45时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数22()lnaxfxxe，（aeR,为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数()fx的递增区间；（Ⅱ）当1a时，过点(0,)Pt()tR作曲线()yfx的两条切线，设两切点为111(,())Pxfx，222(,())Pxfx12()xx，求证：120xx+=．(19)（本小题满分13分）OSABCDE海量资源尽在星星文库：到点(1,0)F的距离，等于它到直线1x的距离．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线12,ll，分别交曲线C于点,AB和,MN．设线段AB，MN的中点分别为,PQ，求证：直线PQ恒过一个定点；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FPQ面积的最小值．(20)（本小题满分14分）已知na是递增数列，其前n项和为nS，11a，且10(21)(2)nnnSaa，*nN．（Ⅰ）求数列na的通项na；（Ⅱ）是否存在*,,mnkN，使得2()mnkaaa成立？若存在，写出一组符合条件的,,mnk的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设32nnnba，2(3)51nnnacn，若对于任意的*nN，不等式112510111131(1)(1)(1)nnmcnbbb≤恒成立，求正整数m的最大值．（考生务必将所有题目的答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）海量资源尽在星星文库：～2010学年度高三年级第二学期统一考试（二）数学学科测试答案（理工类）2010.5一、选择题:题号12345678答案BDBCCABB二、填空题:题号91011121314答案45535870100033nmnmdc-三、解答题:(15)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为()2sincoscos(2)6fxxxxsin2(cos2cossin2sin)66xxx33sin2cos222xx3sin(2)6x，所以()3sin(2)6fxx.…………5分所以函数()fx的最小正周期为．…………7分（Ⅱ）由222()262kxkkppppp--+?Z≤≤得，()63kxkkpppp-+?Z≤≤.又因为[0,]x，所以函数()fx在[0,]p上的递增区间为[0,]3和5[,]6．…………13分(16)（本小题满分13分）解：（1）记“取出1个红球2个黑球”为事件A，根据题意有12334144()()()77343PAC；答：取出1个红球2个黑球的概率是144343.…………4分海量资源尽在星星文库：（2）①方法一：记“在前2次都取出红球”为事件B，“第3次取出黑球”为事件C，则321()767PB，3244()76535PBC，所以4()435(|)1()57PBCPCBPB.方法二：()3244(|)()3255nBCPCBnB.答：在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率是45.…………7分②随机变量X的所有取值为0,1,2,3.3343374(0)35CAPXA，2134333718(1)35CCAPXA，1234333712(2)35CCAPXA，3333371(3)35CAPXA.所以418121459012335353535357EX.…………13分(17)（本小题满分14分）解法一：证明：（Ⅰ）连接OE，由条件可得SA∥OE.因为SAË平面BDE，OEÌ平面BDE，所以SA∥平面BDE.…………4分（Ⅱ）由已知可得，SBSD,O是BD中点，所以BDSO^，又因为四边形ABCD是正方形，所以BDAC^.因为ACSOO，所以BDSAC面.又因为BDBDE面，所以平面BDE平面SAC.…………8分（Ⅲ）解：连接OE，由（Ⅱ）知BDSAC面.X0123P435源:Z+xx+k.Com]35183512135OSABCDE海量资源尽在星星文库：面,所以BDOE.又BDAC.所以EOC是二面角EBDC的平面角，即45EOC.设四棱锥SABCD的底面边长为2，在SAC中，2SASC,22AC,所以2SO,又因为122OCAC,SOOC,所以SOC是等腰直角三角形.由45EOC可知，点E是SC的中点.…………14分解法二：（Ⅰ）同解法一…………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SOABCD面，ACBD.建立如图所示的空间直角坐标系.设四棱锥SABCD的底面边长为2，则(0,0,0)O，(0,0,2)S，2,0,0A，0,2,0B，2,0,0C，0,2,0D.所以22,0,0AC，0,22,0BD.设CEa（02a），由已知可求得45ECO.所以22(2,0,)22Eaa，22(2,2,)22BEaa.设平面BDE法向量为(,,)xyzn，则0,0BDBEnn即0,22(2)20.22yaxyaz令1z，得(,0,1)2aan.易知0,22,0BD是平面SAC的法向量.因为(,0,1)(0,22,0)02aBDan，所以BDn，所以平面BDE平面SAC.…………8分OyzxSABCDE海量资源尽在星星文库：（Ⅲ）解：设CEa（02a），由（Ⅱ）可知，平面BDE法向量为(,0,1)2aan.因为SOABCD底面，所以(0,0,2)OS是平面SAC的一个法向量.由已知二面角EBDC的大小为45.所以2cos,cos452OSn，所以2222()122aa，解得1a.所以点E是SC的中点.…………14分(18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()fx的定义域是(,0)(0,)．222()()aeaxfxxeex.当0a时，由2()0fxx，解得0x；当0a时，由2()()0eaxfxex，解得0exa；当0a时，由2()()0eaxfxex，解得0x，或exa．所以当0a时，函数()fx的递增区间是(0,)；当0a时，函数()fx的递增区间是(0,)ea；当0a时，函数()fx的递增区间是(,)ea，(0,)．…………8分（Ⅱ）因为222()()exfxxeex，所以以111(,())Pxfx为切点的切线的斜率为112()exex；以222(,())Pxfx为切点的切线的斜率为222()exex．又因为切线过点(0,)Pt，海量资源尽在星星文库：()ln(0)xextxxeex；22222222()ln(0)xextxxeex.解得，221txe，222txe.则2212xx.由已知12xx¹所以，120xx+=．……………………………13分(19)