2011届北京五中高三上期中考试数学文试题

北京五中2010/2011学年度上学期期中考试试卷高三数学(文科)一．选择题（每题5分，共40分，请把答案填在第3页表中）1．设集合2,1A，则满足3,2,1BA的集合B的个数是())(A1)(B3)(C4)(D82．给出下列命题：①2xxxR；②2xxxR；③43；④“21x”的充要条件是“1x,或1x”,其中正确命题的个数是（）)(A0)(B1)(C2)(D33.设非零向量ba,满足,baba，则a与ba的夹角为（）)(A30°)(B60°)(C90°)(D120°4.已知等差数列}{na的前20项的和为100，那么147aa的最大值为())(A25)(B50)(C100)(D不存在5．将函数sin2yx的图象向左平移4个单位长度，向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是())(A22cosyx)(Bcos2yx)(Ccos2yx)(D22cosyx6．若过定点)0,1(M且斜率为k的直线与圆05422yxx在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是())(A50k)(B05k)(C130k)(D50k7．函数bxxfalog)(是偶函数，且在区间,0上单调递减，则)2(bf与)1(af的大小关系为（）)(A)1()2(afbf)(B)1()2(afbf)(C)1()2(afbf)(D不能确定8．一根竹竿长2米，竖直放在广场的水平地面上，在1t时刻测得它的影长为4米，在2t时刻的影长为1米．这个广场上有一个球形物体，它在地面上的影子是椭圆，问在1t、2t这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为（）)(A1：1)(B2：1)(C3：1)(D2：1二．填空题（每题5分，共30分，请把答案填在第3页表中）9．与)4,3(a垂直的单位向量为______________10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为22正视图22侧视图11．已知函数axxxf24)(2,当),1[x时,都有0)(xf成立,则实数a的取值范围为12．已知当4x时，12)(xxf，且)4()4(xfxf恒成立，则当4x时，)(xf＝13．已知点P2,2在曲线3yaxbx上，如果该曲线在点P处切线的斜率为9，那么ab，此时函数3fxaxbx，3[,3]2x的值域为14．定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n记作nii1，niinaTNn1).(记，其中ia为数列)}({Nnan中的第i项.①若32nan，则4T=；②若22(),nnTnnNa则三．解答题（共80分）15．在ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，已知A、B为锐角，且532cosA，1010sinB（1）求BA的值;（2）若12ba，求a、b、c的值16．设关于x的二次函数2()41(,R).fxaxbxab（I）设集合P={1，2，4}和Q={-1，1，2}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为函数()fx中a和b的值，求函数)(xfy有且只有一个零点的概率；（II）设点（a，b）是随机取自平面区域24000xyxy内的点，求函数()(,1]yfx在区间上是减函数的概率.1俯视图17．如图,在直三棱柱111ABCABC中，3AC，5AB,4BC，点D是AB的中点，（1）求证：1ACBC；（2）求证：11//ACCDB平面．[18．已知函数axxxf2.（Ⅰ）当1a时，求xf的极值;（Ⅱ）当0a时，求xf的单调区间.19．已知ABC△的顶点AB，在椭圆2234xy上，C在直线2lyx：上，且ABl∥．（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC△的面积；（Ⅱ）当90ABC，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．20．已知数列{}na的前n项和nS和通项na满足11nnSqaq（q是常数且0,1qq）。(Ⅰ)求数列{}na的通项公式；(Ⅱ)当41q时，试证明31nS；(Ⅲ)设函数()logqfxx，12()()()nnbfafafa，是否存在正整数m，使31111321mbbbbn对nN都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.[北京五中2010/2011学年度上学期期中考试试卷高三数学(文科)答案四．选择题（每题5分，共40分，请把答案填在第3页表中）1．设集合2,1A，则满足3,2,1BA的集合B的个数是(C))(A1)(B3)(C4)(D82．给出下列命题：①2xxxR；②2xxxR；③43；④“21x”的充要条件是“1x,或1x”,其中正确命题的个数是（C）)(A0)(B1)(C2)(D33.设非零向量ba,满足,baba，则a与ba的夹角为（D）)(A30°)(B60°)(C90°)(D120°4.已知等差数列}{na的前20项的和为100，那么147aa的最大值为(A))(A25)(B50)(C100)(D不存在5．将函数sin2yx的图象向左平移4个单位长度，向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是(A))(A22cosyx)(Bcos2yx)(Ccos2yx)(D22cosyx6．若过定点)0,1(M且斜率为k的直线与圆05422yxx在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是(A))(A50k)(B05k)(C130k)(D50k7．函数bxxfalog)(是偶函数，且在区间,0上单调递减，则)2(bf与)1(af的大小关系为（C）)(A)1()2(afbf)(B)1()2(afbf)(C)1()2(afbf)(D不能确定8．一根竹竿长2米，竖直放在广场的水平地面上，在1t时刻测得它的影长为4米，在2t时刻的影长为1米．这个广场上有一个球形物体，它在地面上的影子是椭圆，问在1t、2t这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为（A）)(A1：1)(B2：1)(C3：1)(D2：1五．填空题（每题5分，共30分，请把答案填在第3页表中）9．与)4,3(a垂直的单位向量为_)53,54(,)53,54(_10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为3711．已知函数axxxf24)(2,当),1[x时,都有0)(xf成立,则实数a的取值范围为1a12．已知当4x时，12)(xxf，且)4()4(xfxf恒成立，则当4x时，)(xf＝x7213．已知点P2,2在曲线3yaxbx上，如果该曲线在点P处切线的斜率为9，那么ab-3；函数3fxaxbx，3[,3]2x的值域为[-2,18]14．定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n记作nii1，niinaTNn1).(记，其中ai为数列)}({Nnan中的第i项.①若32nan，则T4=280；②若22(),nnTnnNa则1俯视图22正视图22侧视图212nn.选择题答案题号12345678答案填空题答案9.10.11.12.13.14.六．解答题（共80分）15．在ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，已知A、B为锐角，且532cosA，1010sinB（1）求BA的值;（2）若12ba，求a、b、c的值解：（Ⅰ）A、B为锐角，10sin10B，2310cos1sin10Bb又23cos212sin5AA，5sin5A，225cos1sin5AA，253105102cos()coscossinsin5105102ABABAB0AB4AB…………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知34C,2sin2C.由正弦定理sinsinsinabcABC得5102abc，即2ab，5cbwCAyBOx21abQ，221bb，1b16．设关于x的一元二次函数2()41(,R).fxaxbxab（I）设集合P={1，2，4}和Q={-1，1，2}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为函数()fx中a和b的值，求函数)(xfy有且只有一个零点的概率；（II）设点（a，b）是随机取自平面区域24000xyxy内的点，求函数()(,1]yfx在区间上是减函数的概率.解：（I）要使函数)(xfy有且只有一个零点，当且仅当221640,4.baab即……………………………2分分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，可以是(1,1),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2),(4,1),(4,1),(4,2)共9个基本事件，其中满足24ab的事件有(4,1),(4,1)共2个，∴所求事件的概率为29.……………………………6分（II）函数14)(2bxaxxf的图象的对称轴为,2abx由函数()(,1]yfx在区间上是减函数，得2ab且a0，....8分依条件可知试验的全部结果所构成的区域为240(,)00ababab，即三角形区域AOB.且(2,0),(0,4).AB点点.......................................10分构成所求事件的区域为三角形区域BOC（如图）.由24084(,),255abCab得交点坐标为……………………………12分∴所求事件的概率为18442515422BOCAOBSPS…………………13分17．如图,在直三棱柱111ABCABC中，AB3AC，5AB,4BC，点D是的中点，（3）求证：1ACBC；（4）求证：11//ACCDB平面．证明：（１）可证11BBCCAC平面（２）设1BC，CB1交于O可证DOAC//1所以11//ACCDB平面18．已知函数axxxf2.（Ⅰ）当1a时，求xf的极值;（Ⅱ）当0a时，求xf的单调区间.解：2321xxxxxfxxxf232……………………1分令0232xx则32,021xx…2分x32,320,320,0xf＋0－0＋xf↗极大值↘极小值↗……………………4分当32x时，27432fxf极大值……………………5分当0x时，00fxf极小值……………………6分（Ⅱ）23axxxffxxaxxxa…………7分①当0a时，032a令0232axxxf得0x或32ax……8分令0232axxxf得320ax……9分xf的单调增区间为0,，,32a，减区间为32,0a.10分②当0a时，032a令0232axxxf得32ax或0x11分令0232axxxf得032xa……12分xf的单调增区间为32,a，,0.减区间为0,32a.13分综上可知，当0a时，fx的单调增区间为0,，,32a，单调减区间为32,0a；当0a时，fx的单调增区间为32,a，,0，单调减区间为