2012届高三数学一轮复习平面解析几何练习题8

第8章第8节一、选择题1．若M、N为两个定点且|MN|＝6，动点P满足PM→·PN→＝0，则P点的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案]A[解析]以MN的中点为原点，直线MN为x轴建立直角坐标系．并设M(－3,0)，N(3,0)，P(x，y)，则PM→·PN→＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝(x2－9)＋y2＝0，即x2＋y2＝9.2．(2010·浙江台州)在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O)和一个定点F(F在圆外)．在圆上任取一点M，将纸片折叠使点M与点F重合，得到折痕CD.设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为()A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线[答案]A[解析]由OP交⊙O于M可知|PO|－|PF|＝|PO|－|PM|＝|OM||OF|(F在圆外)，∴P点的轨迹为双曲线，故选A.3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π[答案]B[解析]设P(x，y)，由知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4，可知圆的面积为4π.4．已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点A到F1的距离是23，线段AF2的垂直平分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是()A.x29＋y24＝1B.x212＋y28＝1C.x23＋y22＝1D.x212＋y210＝1[答案]C[解析]依题意得，|PA|＝|PF2|，又|PA|＋|PF1|＝|AF1|＝23，故|PF1|＋|PF2|＝23，点P的轨迹为椭圆，方程为x23＋y22＝1.5．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是()A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支[答案]A[解析]过定点A且与AB垂直的直线l都在过定点A且与AB垂直的平面β内，直线l与α的交点C也是平面α、β的公共点．点C的轨迹是平面α、β的交线．6．已知log2x、log2y、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()[答案]A[解析]由log2x，log2y,2成等差数列得2log2y＝log2x＋2∴y2＝4x(x0，y0)，故选A.7．过椭圆x29＋y24＝1内一点R(1,0)作动弦MN，则弦MN中点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案]B[解析]设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，则4x12＋9y12＝36,4x22＋9y22＝36，相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，将x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，y1－y2x1－x2＝yx－1代入可知轨迹为椭圆．8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段[答案]A[解析]设P1、P2为P的轨迹上两点，则AP1⊥BD1，AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2＝A，∴直线AP1与AP2确定一个平面α，与面BCC1B1交于直线P1P2，且知BD1⊥平面α，∴P1P2⊥BD1，又∵BD1在平面BCC1B1内的射影为BC1，∴P1P2⊥BC1，而在面BCC1B1内只有B1C与BC1垂直，∴P点的轨迹为B1C.9．设x1、x2∈R，常数a0，定义运算“*”，x1]x*a))的轨迹是()A．圆B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分[答案]D[解析]∵x1]x*a)＝＋－－＝2ax，则P(x,2ax)．设P(x1，y1)，即x1＝xy1＝2ax，消去x得，y12＝4ax1(x1≥0，y1≥0)，故点P的轨迹为抛物线的一部分．故选D.10．(2011·广东佛山、山东诸城)如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不正确的是()A．a1－c1＝a2－c2B．a1＋c1a2＋c2C．a1c2a2c1D．a1c2a2c1[答案]C[解析]设椭圆Ⅰ和Ⅱ的中心分别为O1，O2，公共左顶点为A，如图，则a1－c1＝|AO1|－|FO1|＝|AF|，a2－c2＝|AO2|－|FO2|＝|AF|，故A对；又a1a2，c1c2，∴a1＋c1a2＋c2，故B对；由图知e1e2，即c1a1c2a2，∴a1c2a2c1，故D对，C错．二、填空题11．F1、F2为椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．[答案]x2＋y2＝4[解析]延长F1D与F2A交于B，连结DO，可知|DO|＝12|F2B|＝12(|AF1|＋|AF2|)＝2，∴动点D的轨迹方程为x2＋y2＝4.12．(2010·哈师大附中)已知曲线C1的方程为x2－y28＝1(x≥0，y≥0)，圆C2的方程为(x－3)2＋y2＝1，斜率为k(k0)的直线l与圆C2相切，切点为A，直线l与双曲线C1相交于点B，|AB|＝3，则直线AB的斜率为________．[答案]33[解析]设B(a，b)，则由题意可得a2－b28＝1－＋b2＝3＋1，解得a＝1b＝0，则直线AB的方程为y＝k(x－1)，故|3k－k|1＋k2＝1，∴k＝33，或k＝－33(舍去)．13．(2010·浙江杭州质检)已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．[答案](x－1)2＋(y＋1)2＝9(位于圆x2＋y2＝16内的)[解析]∵以AB为直径的圆过点C，∴AC⊥BC，∵M是AB中点，∴|CM|＝12|AB|＝3，故点M在以C(1，－1)为圆心，3为半径的圆上，方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9，∵M为弦AB的中点，∴M在⊙O内，故点M轨迹为圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9位于圆x2＋y2＝16内的部分．14．(2010·青岛一中)如图，两条过原点O的直线l1，l2分别与x轴、y轴成30°的角，点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，且线段PQ的长度为2.则动点M(x1，x2)的轨迹C的方程为________．[答案]x23＋y2＝1[解析]由已知得直线l1⊥l2，l1：y＝33x，l2：y＝－3x，∵点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，∴y1＝33x1，y2＝－3x2，由|PQ|＝2得，(x12＋y12)＋(x22＋y22)＝4，即43x12＋4x22＝4⇒x123＋x22＝1，∴动点M(x1，x2)的轨迹C的方程为x23＋y2＝1.三、解答题15．(2010·广州市质检)已知动点P到定点F(2，0)的距离与点P到定直线l：x＝22的距离之比为22.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若EM→·FN→＝0，求|MN|的最小值．[解析](1)设点P(x，y)，依题意有，－2＋y2|x－22|＝22，整理得x24＋y22＝1，所以动点P的轨迹C的方程为x24＋y22＝1.(2)∵点E与点F关于原点O对称，∴点E的坐标为(－2，0)．∵M、N是直线l上的两个点，∴可设M(22，y1)，N(22，y2)(不妨设y1y2)．∵EM→·FN→＝0，∴(32，y1)·(2，y2)＝0，∴6＋y1y2＝0，即y2＝－6y1.由于y1y2，∴y10，y20.∴|MN|＝y1－y2＝y1＋6y1≥2y1·6y1＝26.当且仅当y1＝6，y2＝－6时，等号成立．故|MN|的最小值为26.[点评]直译法是求轨迹的基本方法，对于符合圆锥曲线定义的轨迹问题，也常用定义法求解，请再做下题：(2010·陕西宝鸡市质检)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为33，直线l：y＝x＋2与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；(3)若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．[解析](1)∵e＝33，∴e2＝c2a2＝a2－b2a2＝13，∴2a2＝3b2.∵直线l：x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝b2相切，∴b＝2，b2＝2，∴a2＝3.∴椭圆C1的方程是x23＋y22＝1.(2)∵|MP|＝|MF2|，∴动点M到定直线l1：x＝－1的距离等于它到定点F2(1,0)的距离，∴动点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线．∴点M的轨迹C2的方程为y2＝4x.(3)当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，A(x1，y1)，C(x2，y2)，则直线AC的方程为y＝k(x－1)．联立x23＋y22＝1及y＝k(x－1)得，(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，所以x1＋x2＝6k22＋3k2，x1x2＝3k2－62＋3k2.|AC|＝＋－＝＋＋－4x1x2]＝48＋2＋3k2.由于直线BD的斜率为－1k，用－1k代换上式中的k可得|BD|＝48＋2k2＋3.因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为S＝12|AC|·|BD|＝＋＋＋，由于(2＋3k2)(2k2＋3)≤[＋＋＋2]2＝[＋2]2，所以S≥9625，当2＋3k2＝2k2＋3，即k＝±1时取等号．易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S＝4.综上可得，四边形ABCD面积的最小值为9625.16．(2010·浙江金华十校联考)已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p0)相交于B、C两点．当直线l的斜率是12时，AC→＝4AB→.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．[解析](1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是12时，l的方程为y＝12(x＋4)，即x＝2y－4.由x2＝2pyx＝2y－4得2y2－(8＋p)y＋8＝0，∴y1y2＝4①y1＋y2＝8＋p2②，又∵AC→＝4AB→，∴y2＝4y1③由①，②，③及p0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，则抛物线G的方程为：x2＝4y.(2)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，由x2＝4yy＝＋得x2－4kx－16k＝0④∴x0＝xC＋xB2＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－1k(x－2k)，∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k2＋64k0得：k0或k－4.∴b∈(2，＋∞)．[点评]解析几何与向量，导数结合是可能的新命题方向，其本质仍是解析几何问题，请再练习下题：(2010·湖南师大附中)如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴的负半轴上，过点M(0，－2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足OA→＋OB→＝(－4，－12)．(1)求直线l和抛物线的方程；(2)当抛物线上动点P在点A和B之间运动时，求△ABP面积的最大值．[解析](1)据题意可设直线l的方程为y＝kx－2，抛物线的方程为x2＝－2py(p0)．联立y＝kx－2x2＝－2py得，x2＋2pkx－4p＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.所以OA→＋OB→＝(x1