2012届高三数学一轮复习数列练习题4

第6章第4节一、选择题1．(文)(2010·重庆理，1)在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8[答案]A[解析]a2010＝a2007·q3，故q3＝8，∴q＝2.(理)(2010·黑龙江哈三中)已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－4an－1(n≥2)，则a5＝()A.125B.73C.115D.2411[答案]A[解析]a1＝4，a2＝4－4a1＝3，a3＝4－4a2＝83，a4＝4－4a3＝52，a5＝4－4a4＝125.2．(2010·大庆铁人中学)若“*”表示一种运算，且满足如下关系：(1)1]N*)．则n*1＝()A．3n－2B．3n＋1C．3nD．3n－1[答案]A[解析]设n*1＝an，于是有a1＝1，an＋1＝3＋an，则数列{an}是等差数列，公差d＝3，所以n*1＝an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2.故选A.3．(文)(2010·安徽安庆联考)已知等比数列{an}中有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且a7＝b7，则b5＋b9＝()A．2B．4C．8D．16[答案]C[解析]∵a3a11＝a72＝4a7，∴a7＝4，∴b7＝a7＝4，∴b5＋b9＝2b7＝8.(理)(2010·昌南模拟)已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为3，数列(1)的前n项和为Sn，则S2010的值为()A.20072008B.20082009C.20092010D.20102011[答案]C[解析]0＝f′(x)＝2x＋b，∴0＝f′(1)＝2＋b＝3，∴b＝1，∴f(n)＝n2＋n，∴1＝1＋＝1n－1n＋1，∴Sn＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)＝nn＋1∴S2010＝20102011.4．(2010·浙江金华十校)已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为{an}的前n项和，则S3－S2S5－S3的值为()A．2B．3C.15D．不存在[答案]A[解析]由条件a32＝a1a4，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，∴a1d＋4d2＝0，∵d≠0，∴a1＝－4d，∴S3－S2S5－S3＝a3a4＋a5＝a1＋2d2a1＋7d＝－2d－d＝2.5．(文)(2010·马鞍山市质检)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝3(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1a2a3＝8，则a10等于()A．－512B．1024C．－1024D．512[答案]D[解析]∵{an}为等比数列，a1a2a3＝8，∴a23＝8，∴a2＝2，又S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝3(a1＋a3＋…＋a2n－1)，∴a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)，∴q＝2，∴a10＝a2q8＝2×28＝512.(理)(2010·长沙模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝03(1＋2x)dx，S20＝18，则S30为()A．36B．27C．24D．21[答案]D[解析]S10＝03(1＋2x)dx＝(x＋x2)03＝12，又S20＝18，且{an}等比数列，∴S10，S20－S10，S30－S20，也成等比数列，即：12,6，S30－18成等比数列，∴S30－18＝3，S30＝21，故选D.6．(2010·东北三校)在圆x2＋y2＝5x内，过点52，32有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1，最长弦长为an，若公差d∈16，13，那么n的取值集合为()A．{4,5,6}B．{6,7,8,9}C．{3,4,5}D．{3,4,5,6}[答案]A[解析]圆心到点52，32的距离d＝52－522＋32－02＝32，圆半径为52，∴a1＝2522－322＝4，an＝5.∴d＝an－a1n－1＝1n－1，∵16d≤13，∴161n－1≤13，∴3≤n－16，∴4≤n7，∵n∈N*，∴n＝4,5,6.故选A.7．运行如图的程序框图，则输出的结果是()A．2009B．2010C.12009D.12010[答案]D[解析]如果把第n个a值记作an，第1次运行后得到a2＝a1a1＋1，第2次运行后得到a3＝a2a2＋1，……，第n次运行后得到an＋1＝anan＋1，则这个程序框图的功能是计算数列{an}的第2010项．将an＋1＝anan＋1变形为1an＋1＝1an＋1，故数列{1an}是首项为1，公差为1的等差数列，故1an＝n，即an＝1n，故输出结果是12010.8．(2010·浙江宁波十校)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n值是8，则S0的值为()A．0B．1C．2D．3[答案]A[解析]由题意可知3nS0＋3n－1＋3n－2＋…＋3＋1≥20103n－1S0＋3n－2＋…＋3＋12010，∵n＝8，易验证S0＝0，故选A.9．(文)(2010·海淀模拟)数列{an}的前n项和是Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16，…，若存在正整数k，使Sk10，Sk＋1≥10，则ak＝()A.17B.67C.57D.37[答案]C[解析]S20＋1＝12＋1＋23＋1＋2＋34＋1＋2＋3＋45＋1＋2＋3＋4＋56＋1＋2＋3＋4＋5＋67＝12＋1＋32＋2＋52＋3＝10.5∵670.5，∴S2010，S21＝10.510，即k＝20∴a20＝57.(理)(2010·杭州质检)已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1(1,2)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，Pn＋1(xn＋1，yn＋1)(n∈N*)，若点Pn(xn，yn)到点Pn＋1(xn＋1，yn＋1)的变化关系为xn＋1＝yn－xnyn＋1＝yn＋xn(n∈N*)，则|P2009P2010|等于()A．21004B．10052C．22010D．20102[答案]A[解析]P1(1,2)→P2(1,3)→P3(2,4)→P4(2,6)→P5(4,8)→P6(4,12)→P7(8,16)→P8(8,24)→P9(16,32)→P10(16,48)→P11(32,64)→P12(32,96)→….由此可归纳出：P2n－1(2n－1,2n)，p2n(2n－1,3×2n－1)，所以P2009(21004,21005)，P2010(21004,3×21004)，所以|P2009P2010|＝21004.10．(文)(2010·广东罗湖区调研)在等差数列{an}中，其前n项和为Sn.若a2，a10是方程x2＋12x－8＝0的两个根，那么S11的值为()A．44B．－44C．66D．－66[答案]D[解析]∵a2＋a10＝－12，∴S11＝＋2＝＋2＝－2＝－66.(理)(2010·衡水市模考)已知公比不为1的正项等比数列{an}的通项公式为an＝f(n)(n∈N*)，记f(x)的反函数为y＝f－1(x)，若f－1(3)＋f－1(6)＝7，则数列{an}的前6项乘积为()A．33B．36C．63D．183[答案]D[解析]∵f(x)的反函数为f－1(x)，设f－1(3)＝m，f－1(6)＝－k，则f(m)＝3，f(k)＝6，即am＝3ak＝6，∵{an}为等比数列，m＋k＝7，∴a1qm－1＝3，a1qk－1＝a1q6－m＝6，两式相乘得a12q5＝18，∴{an}的前6项乘积a1a2a3a4a5a6＝a16·q15＝(a12q5)3＝183，故选D.二、填空题11．(2010·新乡市模考)设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有SnTn＝2n－34n－3，则a9b5＋b7＋a3b8＋b4的值为________．[答案]1941[解析]a9b5＋b7＋a3b8＋b4＝a92b6＋a32b6＝2a62b6＝a1＋a11b1＋b11＝S11T11＝2×11－34×11－3＝1941.12．(2010·浙江金华十校模考)数列{an}中，Sn是前n项和，若a1＝1,3Sn＝4Sn－1，则an＝________.[答案]1n＝113·43n－2n≥2[解析]∵3Sn＝4Sn－1，∴SnSn－1＝43，又S1＝a1＝1，∴{Sn}是以S1＝1，公比为43的等比数列，∴Sn＝43n－1，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝13·43n－2，∴an＝1n＝113·43n－2n≥2.13．(文)(2010·浙江杭州质检)已知数列{an}满足：a1＝1，如果an是自然数，则an＋1＝an－2，否则an＋1＝an＋3，则a6＝________.[答案]1[解析]a1＝1∈N，∴a2＝a1－2＝－1，a2＝－1∉N，∴a3＝a2＋3＝2；依次类推有：a4＝0，a5＝－2，a6＝1.[点评]此题若求a2010＝？，则需研究其周期，你知道其周期是几吗？(理)(2010·山东聊城联考)设集合M＝{m|m＝7n＋2n，n∈N*，且m200}，则集合M中所有元素的和为________．[答案]450[解析]∵n＝6时，m＝7×6＋26＝106，n＝7时，m＝7×7＋27＝177，又28＝256，∴由m200知，n≤7，n∈N*，故集合M中所有元素之和为S＝7×(1＋2＋…＋7)＋(21＋22＋…＋27)＝450.14．(文)(2010·上海松江区模考)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．介于1到200之间的所有“神秘数”之和为____．[答案]2500[解析]设正整数x＝(2n＋2)2－(2n)2＝8n＋4，由1≤x≤200及n∈Z知，0≤n≤24，∴所有这样的神秘数之和为＋2＝2500.(理)已知数列{an}满足a1＝23，且对任意的正整数m、n都有am＋n＝am·an，若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝________.[答案]2－2n＋13n[解析]令m＝1，得an＋1＝a1·an，即an＋1an＝a1＝23，可知数列{an}是首项为a1＝23，公比为q＝23的等比数列，于是Sn＝－1－q＝23×[1－231－23＝2[1－(23)n]＝2－2n＋13n.三、解答题15．(2010·山东滨州)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若从数列{an}中依次取出第2项、第4项、第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．[解析](1)依题意得3a1＋3×22d＋5a1＋4×52d＝50＋＝＋，解得a1＝3d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，即an＝2n＋1.(2)由已知得，bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1)＝－1－2＋n＝2n＋2－4＋n.16．(文)已知{an}是由正数组成的数列，a1＝1，点(an，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋2的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝bn＋2an＋1，求bn.[解析](1)由已知得an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2，a1＝1所以数列{an}是以1为首项，公差为2的等差数列．故an＝2n－1.(2)由(1)知：an＝2n－1，从而bn＋1－bn＝22n＋1.∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝22n－1＋22n－3＋…＋23＋2＝－4－1＝－3.(理)(2010·山东潍坊)已知等差数列{an}的首项a1≠0，前n项和为Sn，且S4＋a2＝2S3；等比数列{bn}满足b1＝a2，b2＝a4.(