2012届高三数学一轮复习立体几何练习题3

第9章第3节一、选择题1．(2010·深圳市调研)已知E、F、G、H是空间内四个点，条件甲：E、F、G、H四点不共面，条件乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]点E、F、G、H四点不共面可以推出直线EF和GH不相交；但由直线EF和GH不相交不一定能推出E、F、G、H四点不共面，例如：EF和GH平行，这也是直线EF和GH不相交的一种情况，但E、F、G、H四点共面．故甲是乙成立的充分不必要条件．2．(文)设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列结论：①a∥b，b⊂α⇒a∥α；②α∥β，a∥β，a⊄α⇒a∥α；③α∩β＝a，b∥α，b∥β⇒b∥a；④a∥α，b⊂α⇒a∥b.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B[解析]①可能有a⊂α；④可能有a与b异面，故只有②③正确．(理)已知直线m、l，平面α、β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l;②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析](1)中，若α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确．(2)中，若α⊥β，且m⊥α⇒m∥β或m⊂β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．(3)如图，α∩β＝a，m⊥α，l⊂β，l∥a，满足m⊥l，但得不出α∥β.(4)中，若m⊥l，且m⊥α⇒l⊥α，又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确．故选B.3．(2010·湖北文，4)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④[答案]C[解析]①平行关系的传递性．②举反例：在同一平面α内，a⊥b，b⊥c，有a∥c.③举反例：如图的长方体中，a∥γ，b∥γ，但a与b相交．④垂直于同一平面的两直线互相平行．故①，④正确．4．(文)α、β是相异平面，a、b、c是相异直线，A、B是相异点，则在下列命题中错误的是()A．α∩β＝a，b⊂α，c⊂β，b∩c＝A⇒A∈aB．α∥β，a⊂α，b⊂β，P∈a⇒P∉bC．α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，a∩b＝A⇒b∩c＝AD．a⊄α，b⊄α，a⊂β，b⊂β，a∩b＝A⇒α∥β[答案]D[解析]∵a⊄α可能是a∥α，也可能是a与α相交，当a与α相交时，∵a⊂β，∴交点在β内，故D错．(理)(2010·东北四市联考)两个平面α与β相交但不垂直，直线m在平面α内，则在平面β内()A．一定存在直线与m平行，也一定存在直线与m垂直B．一定存在直线与m平行，但不一定存在直线与m垂直C．不一定存在直线与m平行，但一定存在直线与m垂直D．不一定存在直线与m平行，也不一定存在直线与m垂直[答案]C[解析]直线m在平面α内，直线m与平面α、β的交线的位置关系有两种可能：平行或相交，当平行时，在平面β内一定存在直线与m平行，也一定存在直线与m垂直，当相交时，在平面β内不存在直线与m平行，但一定存在直线与m垂直，故选C.[点评]当m与平面α、β的交线l相交时，若在平面β内存在直线a∥m，则由线面平行的判定定理知a∥α，再由性质定理知a∥l，∴m∥l，这与m和l相交矛盾．5．(2010·济南模拟)给出下列命题：①若平面α内的直线m与平面β内的直线n为异面直线，直线l是α与β的交线，那么l至多与m、n中一条相交；②若直线m与n异面，直线n与l异面，则直线m与l异面；③一定存在平面γ同时和异面直线m、n都相交．其中正确的命题是()A．①B．②C．③D．①③[答案]C[解析]①错误，l可能与m，n两条都相交；②错误，直线m与l亦可共面；③正确．在m、n上分别取点M、N，则经过直线MN可以作出平面与m、n都相交．6．已知不重合的平面α、β和不重合的直线m、n，给出下列命题：①m⊂α，n⊂β，α⊥β⇒m⊥n②m⊥α，n⊥β，α与β相交⇒m与n相交③m⊥n，n⊂β，m⊄β⇒m⊥β④m∥α，n∥β，m∥n⇒α∥β其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]A[解析]四个命题全错，图(1)中α∩β＝l，m∥l∥n，知①错；图(2)中取n上一点P，过P作m′⊥α，当m∥m′时满足②的条件，但m与n不相交；③、④显然错误，故选A.7．正方体的棱长为1，C、D、M分别为三条棱的中点，A、B是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是()A.23B.63C.13D.62[答案]C[解析]设点M到ABCD的距离为h，连结AC，作CF⊥AB，垂足为F，则BF＝24，BC＝52，∴CF＝324，连CM，则VC－ABM＝VM－ABC.VC－ABM＝13S△ABM×CM＝13×14×1＝112，又VM－ABC＝13×12×AB×CF×h＝13×12×2×324×h＝h4，则由h4＝112得h＝13，故选C.8．(2010·淄博一中)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则α∥β是l⊥m的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]若α∥β，则由l⊥α知l⊥β，又m⊂β，可得l⊥m；若α与β相交(如图)，设α∩β＝n，当m∥n时，由l⊥α可得l⊥m，而此时α与β不平行．于是α∥β是l⊥m的充分不必要条件．故选A.9．(2010·襄樊测试)设m、n是平面α内的两条不同直线，l1、l2是平面β内的两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是()A．l1⊥m，l1⊥nB．m⊥l1，m⊥l2C．m⊥l1，n⊥l2D．m∥n，l1⊥n[答案]B[解析]由m⊥l1，m⊥l2，l1、l2是平面β内两条相交直线，知m⊥β，又m⊂α，所以α⊥β；若α⊥β，m⊂α，则未必有m⊥β，未必有m⊥l1，m⊥l2，故选B.10．(2010·江西理)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A．1条B．2条C．3条D．4条[答案]D[解析]如图，连结AC1，可知AC1与三棱AB，AD，AA1所成角相等，由两条异面直线所成角的定义知，分别过点B、C、D的体对角线BD1、CA1、DB1与三棱AB、AD、AA1成的角也都相等，故过点A作与BD1，CA1，DB1平行的直线也满足直线l的要求，故这样的直线可作4条．二、填空题11．(文)(2010·江苏盐城调研)已知l是一条直线，α，β是两个不同的平面．若从“①l⊥α；②l∥β；③α⊥β”中选取两个作为条件，另一个作为结论，试写出一个你认为正确的命题________．(请用代号表示)[答案]①②⇒③[解析]在β内任取一点P，P与l确定一个平面γ，则γ与β相交于过P点的一条直线l′，∵l∥β，∴l∥l′，∵l⊥α，∴l′⊥α，∴β⊥α.(理)(2010·哈三中)已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，有下列三个条件①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③m⊂γ，n∥β要使命题“若α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把你认为正确条件的序号填上)[答案]①或③②如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，α、β、γ分别为平面ADD1A1、平面ABCD、平面A1B1C1D1，m为AD，n为A1B1，满足α∩β＝m，n⊂γ，m∥γ，n∥β，但m与n显然不平行．]12．如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN与直线PB的位置关系为________．(从相交、平行、异面、重合中选填)[答案]异面[解析]将表面展开图折起还原为正方体如图，故MN与PB异面．13．(2010·东北师大附中等三校)一个几何体的三视图如图所示：其中，正(主)视图中大三角形是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为________．[答案]32[解析]由三视图可知，该几何体是正六棱锥，底面边长为1，侧棱长为2，如图设底面中心为O，易知OD＝1，又PD＝2，∴PO＝3，∴体积V＝13×6×34×12×3＝32.14．(2010·上海大同中学模拟)给出如下四个命题：①有三个角是直角的四边形一定是矩形；②不共面的四点可以确定四个平面；③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线；④若点A、B、C∈平面M，且点A、B、C∈平面N，则平面M与平面N重合．其中真命题的序号是________．[答案]②[解析]如图(1)，平面α内∠ABC为直角，P∉α，过P作PD⊥AB，PE⊥BC，则四边形PDBE有三个直角，故①假；在图②的平面α内，四边形ABCD中任意三点不共线，知③假；图③中，M∩N＝l，A、B、C都在l上，知④假，只有②真．三、解答题15．(文)(2010·江苏通州调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝3，点E在CD上移动．(1)求三棱锥E－PAB的体积；(2)试在PD上找一点F，使得PE⊥AF，并证明你的结论．[解析](1)∵PA⊥平面ABCD，∴VE－PAB＝VP－ABE＝13S△ABE·PA＝13×12×1×3×1＝36.(2)F是PD的中点∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD∵F是PD上的点，AF⊂平面PAD，∴AF⊥DC∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF.(理)(2010·黑龙江哈三中)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，沿对角线BD将△ABD向上折起，使点A移至点P，且点P在平面BCD内的投影O在CD上．(1)求证：PD⊥BC；(2)求二面角P－DB－C的正弦值；(3)求点C到平面PBD的距离．[解析](1)∵BC⊥CD，BC⊥OP，∴BC⊥平面PCD，∴PD⊥BC；(2)过O作OE⊥BD于点E，连接PE∵BD⊥OP，∴BD⊥平面OPE，∴BD⊥PE，∴∠PEO为二面角P－BD－C的平面角，在△POE中，PE＝3，OE＝1，PO＝22，则sin∠PEO＝223；[来源:Zxxk.Com](3)VC－PBD＝VP－BCD，∴13×12×6×23×h[来源:Z。xx。k.Com]＝13×12×6×23×22，解得h＝22.16．如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，E是SD的中点．(1)求证：SB∥平面EAC；(2)求证：AC⊥BE.(3)(理)若SD＝2，AD＝2，求二面角C－AS－D的余弦值．[解析](1)证明：连结BD交AC于点O，连结EO.因为底面ABCD是正方形，所以O是BD的中点．又因为E是SD的中点，所以EO∥SB.又因为EO⊂平面EAC，SB⊄平面EAC，所以SB∥平面EAC.(2)因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD.因为SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥SD.又因为SD∩BD＝D，所以AC⊥平面BDS.因为BE⊂平面BDS，所以AC⊥BE.(3)(理)解法1：因为SD⊥平面ABCD，所以SD⊥CD.因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥CD.又因为SD∩AD＝D，所以CD⊥平面SAD，所以CD⊥AS.过点D在平面SAD内作DF⊥AS于F，连结CF.由于DF∩CD＝D，所以AS⊥平面DCF.所以AS⊥CF.故∠CFD是二面角C－AS－D的平面角．在Rt△ADS中，SD＝2，AD＝2，可求得DF＝233.在Rt△CFD中，DF＝233，CD＝2，可求得CF＝303.所以cos∠CFD＝DFCF＝105.即二面角C－AS－D的余弦值为105.解法2：如图，以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz.则D(0,0,0)，A(2，0,0)，B(2，2，0)，C(0