2012年高考真题汇编理科数学解析版13概率高中数学练习试题

2012高考真题分类汇编：概率1.【2012高考真题辽宁理10】在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为(A)16(B)13(C)23(D)45【答案】C【解析】设线段AC的长为xcm，则线段CB的长为(12x)cm,那么矩形的面积为(12)xxcm2，由(12)32xx，解得48xx或。又012x，所以该矩形面积小于32cm2的概率为23，故选C【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。2.【2012高考真题湖北理8】如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A．21πB．112πC．2πD．1π【答案】A【解析】令1OA，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为1S，围成OC为2S，作对称轴OD，则过C点。2S即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积，82212121212122S。在扇形OAD中21S为扇形面积减去三角形OAC面积和22S，1622811812221SS，第8题图4221SS，扇形OAB面积41S，选A.3.【2012高考真题广东理7】从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是A.49B.13C.29D.19【答案】D【解析】法一：对于符合条件“个位数与十位数之和为奇数的两位数”分成两种类型：一是十位数是奇数，个位数是偶数，共有2555个，其中个位数为0的有10,30,50,70,90共5个；二是十位数是偶数，个位数是奇数，共有2054，所以9120255P．故选D．法二：设个位数与十位数分别为yx,，则12kyx，k1,2,3,4,5,6,7,8,9，所以yx,分别为一奇一偶，第一类x为奇数，y为偶数共有251515CC个数；第二类x为偶数，y为奇数共有201514CC个数。两类共有45个数，其中个位是0，十位数是奇数的两位有10,30,50,70,90这5个数，所以其中个位数是0的概率是91455，选D。4.【2012高考真题福建理6】如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为A.14B.15C.16D.17【答案】Ｃ.【解析】根据定积分的几何意义可知阴影部分的面积61|)2132()(1022310xxdxxxS，而正方形的面积为１，所以点Ｐ恰好取自阴影部分的概率为61．故选Ｃ．5.【2012高考真题北京理2】设不等式组20,20yx，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A）4（B）22（C）6（D）44【答案】D【解析】题目中2020yx表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222P，故选D。6.【2012高考真题上海理11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）。【答案】32【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有27232323CCC中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有18122323CCC，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为322718。7.【2012高考真题新课标理15】某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为【答案】83【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12p超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4Pp那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138ppp.8.【2012高考江苏6】（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．【答案】35。【考点】等比数列，概率。【解析】∵以1为首项，3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是63=105。9.【2012高考真题四川理17】(本小题满分12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p。（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E。【答案】本题主要考查独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力.【解析】10．【2012高考真题湖北理】（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X300X300700X700900X900X工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9.求：（Ⅰ）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.【答案】（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：(300)0.3,PX(300700)(700)(300)0.70.30.4PXPXPX，(700900)(900)(700)0.90.70.2PXPXPX.(900)1(900)10.90.1PXPX.所以Y的分布列为：于是，()00.320.460.2100.13EY；2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8DY.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.（Ⅱ）由概率的加法公式，(300)1(300)0.7PXPX，又(300900)(900)(300)0.90.30.6PXPXPX.由条件概率，得(6300)(900300)PYXPXX(300900)0.66(300)0.77PXPX.故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.11.【2012高考江苏25】（10分）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1．（1）求概率(0)P；（2）求的分布列，并求其数学期望()E．【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有238C对相交棱。∴232128834(0)=6611CPC。（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，∴212661(2)=6611PC，Y02610P0.30.40.20.1416(1)=1(0)(2)=1=111111PPP。∴随机变量的分布列是：012()P411611111∴其数学期望6162()=12=111111E。【考点】概率分布、数学期望等基础知识。【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率(0)P。（2）求出两条棱平行且距离为2的共有6对，即可求出(2)P，从而求出(1)P（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量的分布列，求出其数学期望。12.【2012高考真题广东理17】（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]．（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望．【答案】本题是在概率与统计的交汇处命题，考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。【解析】13.【2012高考真题全国卷理19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.【答案】14.【2012高考真题浙江理19】(本小题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．(Ⅰ)求X的分布列；(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．【答案】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。(Ⅰ)X的可能取值有：3，4，5，6．35395(3)42CPXC；21543920(4)42CCPXC；12543915(5)42CCPXC；34392(6)42CPXC．故，所求X的分布列为X3456P542201042211554214214221(Ⅱ)所求X的数学期望E(X)为：E(X)＝645105191()34564221142121iiPXi．15.【2012高考真题重庆理17】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望【答案】16.【2012高考真题江西理29】（本题满分12分）如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）。（1）求V=0的概率；(2)求V的分布列及数学期望。【答案】【点评】本题考查组合数，随机变量的概率，离散型随机变量的分布列、期望等.高考中，概率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体，考查统计学中常见的数据特征：如平均数，中位数，频数，频率等或古典概型；二、以应用题为载体，考查条件概率，独立事件的概率，随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查.17.【2012高考真题湖南理17】本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某