2012高中数学222第1课时课时同步练习新人教A版选修21高中数学练习试题

-1-第2章2.2.2第1课时一、选择题(每小题5分，共20分)1．一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为()A.x24＋y29＝1B.x29＋y24＝1C.x24＋y213＝1D.x213＋y24＝1解析：由椭圆中a＞b，a＞c＝3，且一个顶点坐标为(0,2)知b＝2，b2＝4，且椭圆焦点在x轴上，a2＝b2＋c2＝13.故所求椭圆的标准方程为x213＋y24＝1.故选D.答案：D2．椭圆x225＋y29＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A．8,2B．5,4C．9,1D．5,1解析：因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.答案：C3．已知F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝32，则椭圆的方程是()A.x24＋y23＝1B.x216＋y24＝1C.x216＋y212＝1D.x216＋y23＝1解析：由题意知4a＝16，即a＝4，又∵e＝32，∴c＝23，∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，∴椭圆的标准方程为x216＋y24＝1.答案：B4．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A.12B.32-2-C.34D.64解析：依题意，△BF1F2是正三角形，∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴acos60°＝c，∴ca＝12，即椭圆的离心率e＝12，故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．解析：依题意设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为32，∴a2－b2a＝32，∴36－b26＝32，∴b2＝9，∴椭圆G的方程为x236＋y29＝1.答案：x236＋y29＝16．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a,2b,2c，由题意可得2a＋2c＝4b，a＋c＝2b，又b＝a2－c2，-3-所以a＋c＝2a2－c2，整理得5e2＋2e－3＝0，e＝35或e＝－1(舍去)．答案：35三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝63.过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为32，求椭圆的标准方程．解析：e＝ca＝a2－b2a＝63，∴a2－b2a2＝23，∴a2＝3b2，即a＝3b.过A(0，－b)，B(a,0)的直线为xa－yb＝1.把a＝3b代入，即x－3y－3b＝0，又由点到直线的距离公式得|－3b|1＋－32＝32，解得b＝1，∴a＝3，∴所求方程为x23＋y2＝1.8.如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解析：方法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c，则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)．M点的坐标为c，23b，则△MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋49b2＝|MF1|2.而|MF1|＋|MF2|＝4c2＋49b2＋23b＝2a，整理得3c2＝3a2－2ab.-4-又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以b2a2＝49.∴e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－b2a2＝59，∴e＝53.方法二：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则Mc，23b，代入椭圆方程，得c2a2＋4b29b2＝1，所以c2a2＝59，所以ca＝53，即e＝53.尖子生题库☆☆☆9．(10分)设P(x，y)是椭圆x225＋y216＝1上的点且P的纵坐标y≠0，点A(－5,0)、B(5,0)，试判断kPA·kPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解析：因为点P的纵坐标y≠0，所以x≠±5.设P(x，y)．所以kPA＝yx＋5，kPB＝yx－5.所以kPA·kPB＝yx＋5·yx－5＝y2x2－25.因为点P在椭圆x225＋y216＝1上，所以y2＝16×1－x225＝16×25－x225.把y2＝16×25－x225代入kPA·kPB＝y2x2－25，得kPA·kPB＝16×25－x225x2－25＝－1625.所以kPA·kPB为定值，这个定值是－1625.