2012高中数学模块质量检测B课时同步练习新人教A版选修21高中数学练习试题

-1-模块质量检测（B）(考试时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法错误的是()A．如果命题“¬p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题q一定是真命题B．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”C．若命题p：∃x0∈R，x02＋2x0－30，则¬p：∀x∈R，x2＋2x－3≥0D．“sinθ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件解析：显然由sinθ＝12不能推出θ＝30°.答案：D2．已知命题p：存在x∈R，使tanx＝1，命题q：x2－3x＋20的解集是{x|1x2}，下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；③命题“¬p或q”是真命题；④命题“¬p或¬q”是假命题，其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：命题p、q都是真命题，所以p∩q为真命题，p∩¬q是假命题，¬p或q是真命题，¬p或¬q是假命题，故选D.答案：D3．已知两定点F1(5,0)，F2(－5,0)，曲线上的点P到F1，F2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为()A.x29－y216＝1B.x216－y29＝1C.x225－y236＝1D.y225－x236＝1解析：|PF1|－|PF2|＝6|F1F2|，∴P点的轨迹为双曲线2a＝6,2c＝10，b2＝c2－a2＝16.答案：A4．“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0和直线3x＋(a－1)y＝a－7”平行且不重合的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a＝3⇒直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合；由两直-2-线平行且不重合得a3＝2a－1≠3a7－a⇒a＝3.故选C.答案：C5．命题“若ab，则acbc(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．4B．3C．2D．0解析：原命题为假，逆命题为假，否命题及逆否命题也为假．答案：D6．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为()A．4B．－2C．4或－4D．12或－2解析：设抛物线标准方程为x2＝－2py(p0)，由抛物线的定义知点P到准线的距离为4，故p2＋2＝4，∴p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y，代入点P坐标得m＝±4，故选C.答案：7．若△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为()A.10B．－10C．25D．±10解析：CB→＝(－6,1,2k)，CA→＝(－3,2，－k)，则CB→·CA→＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)＝－2k2＋20＝0，∴k＝±10.答案：D8．已知OA→＝(1,2,3)，OB→＝(2,1,2)，OP→＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA→·QB→取得最小值时，点Q的坐标为()A.12，34，13B.12，32，34C.43，43，83D.43，43，73解析：设Q(x，y，z)，因Q在OP→上，-3-故有OQ→∥OP→，可得：x＝λ，y＝λ，z＝2λ，则Q(λ，λ，2λ)，QA→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB→＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA→·QB→＝6λ2－16λ＋10＝6λ－432－23，故当λ＝43时，QA→·QB→取最小值，此时Q43，43，83，故选C.答案：C9．椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为()A.1010B.1717C.21313D.3737解析：焦距为2c，短轴长为2b，由已知：2c＝2b3，∴b＝3c，又a2＝b2＋c2＝9c2＋c2＝10c2，∴e＝ca＝1010.答案：A10．给出下列四个命题，其中真命题为()①“∃x∈R，使得x2＋13x”的否定是“∀x∈R，都有x2＋1≤3x”；②“m＝－2”是“直线(m＋2)x＋my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的必要不充分条件；③设圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)与坐标轴有4个交点，分别为A(x1,0)，B(x2,0)，C(0，y1)，D(0，y2)，则x1x2－y1y2＝0；④函数f(x)＝sinx－x的零点个数有3个．A．①④B．②④C．①③D．②③解析：①正确；m＝－2⇒两条直线垂直，而两直线垂直推不出m＝－2，∴m＝－2是这两条直线垂直的充分非必要条件，②错误；令y＝0，x2＋Dx＋F＝0得，x1x2＝F，令x＝0，y2＋Ey＋F＝0，得y1y2＝F，∴x1x2－y1y2＝0，③正确；④错误．答案：C-4-11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为正方形ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与MA所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图所示，建立直角坐标系，设正方体棱长为1，则O12，12，0，P(1，y,1)，A(1,0,0)，M0，0，12，∴OP→＝12，y－12，1，AM→＝－1，0，12，∴OP→·AM→＝0，∴OP与MA所成的角为90°.答案：D12．设F1，F2是双曲线x2－4y2＝4a(a＞0)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足PF→1·PF→2＝0，|PF→1|·|PF→2|＝2，则a的值为()A．2B.52C．1D.5解析：双曲线方程化为x24a－y2a＝1(a＞0)，∵PF→1·PF→2＝0，∴PF1⊥PF2.∴|PF1→|2＋|PF2→|2＝4c2＝20a，①由双曲线定义|PF→1|－|PF→2|＝±4a，②又已知：|PF1→||PF→2|＝2，③由①②③得：20a－2×2＝16a，∴a＝1.答案：C-5-二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填在题中的横线上)13．已知AB是过椭圆x225＋y216＝1左焦点F1的弦，且|AF2|＋|BF2|＝12，其中F2是椭圆的右焦点，则弦AB的长是________．解析：由椭圆定义|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20，得|AB|＝8.答案：814．设命题p：|4x－3|≤1，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若¬p是¬q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________．解析：由已知p：－1≤4x－3≤1，∴12≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，又¬p⇐¬q，∴p⇒q，即a≤12a＋1≥1，由此可知0≤a≤12.答案：0，1215．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则直线与平面的位置关系是________．解析：a·u＝(1,0,2)·(－2,0，－4)＝－2－8＝－10∴直线l与平面α不平行，a＝－12u∴a∥u直线l与平面α垂直．答案：垂直16．已知命题p：m≥1，命题q：2m2－9m＋10＜0，若p，q中有且仅有一个为真命题，则实数m的取值范围是________．解析：q：2＜m＜52，由题意p真q假∴1≤m≤2或m≥52.答案：[1,2]∪52，＋∞三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知a0，设p：函数y＝ax在R上单调递减，q：不等式x＋|x-6-－2a|1的解集为R.若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．解析：由函数y＝ax在R上单调递减知0a1，∴若p真，则0a1.不等式x＋|x－2a|1的解集为R，即y＝x＋|x－2a|在R上恒大于1，又因为x＋|x－2a|＝2x－2ax≥2a2ax2a，∴函数y＝x＋|x－2a|在R上的最小值为2a，故要使解集为R，只需2a1，∴a12.∴若q真，则a12.又∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假．若p真q假，则0a≤12；若p假q真，则a≥1.故a的取值范围为0a≤12或a≥1.18．(本小题满分12分)抛物线y＝－x22与过点M(0，－1)的直线l相交于A，B两点，O为原点，若OA和OB的斜率之和为1，求直线l的方程．解析：显然直线l垂直于x轴不合题意，故设所求的直线方程为y＝kx－1.代入抛物线方程化简，得x2＋2kx－2＝0.由根的判别式Δ＝4k2＋8＝4(k2＋2)0，于是有k∈R.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，则y1x1＋y2x2＝1.①因为y1＝kx1－1，y2＝kx2－1，代入①，得2k－1x1＋1x2＝1.②又因为x1＋x2＝－2k，x1x2＝－2，代入②得k＝1.所以直线l的方程为y＝x－1.19．(本小题满分12分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为22，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF2的面积．-7-解析：(1)易得椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)∵F1(－1,0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，由y＝－2x－2x22＋y2＝1得9x2＋16x＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－169x1·x2＝23∴|CD|＝1＋－2|x1－x2|＝5·x1＋x22－4x1x2＝5·－1692－4×23＝1092，又点F2到直线BF1的距离d＝455，故S△CDF2＝12|CD|·d＝4910.20．(本小题满分12分)三棱柱ABC－A1B1C1，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1.(1)求证：AC1⊥平面A1BC；(2)求二面角A－A1B－C的余弦值．解析：(1)证明：如图，设A1D＝t(0)，取AB的中点E，则DE∥BC，因为BC⊥AC，所以DE⊥AC，又A1D⊥平面ABC，以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，C(0，1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0，t)，C1(0,2，t)，AC1→＝(0,3，t)，BA1→＝(－2，－1，t)，CB→＝(2,0,0)，由A1C→·CB→＝0，知A1C⊥CB，-8-又BA1⊥AC1，BA1∩CB＝B，从而AC1⊥平面A1BC；(2)由AC1→·BA1→＝－3＋t2＝0，得t＝3.设平面A1AB的法向量为n＝(x，y，z)，AA1→＝(0,1，3)，AB→＝(2,2,0)，所以n·AA1→＝y＋3z＝0n·AB→＝2x＋2y＝0，设z＝1，则n＝(3，－3，1)．再设平面A1BC的法向量为m＝(u，v，w)，CA1→＝(0，－1，3)，CB→＝(2,0,0)，所以m·CA1→＝－v＋3w＝0m·CB→＝2u＝0，设w＝1，则m＝(0，3，1)，故cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝－77，因为二面角A－A1B－C为锐角，所以可知二面角A－A1B－C的余弦值为77.21．(本小题满分12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且¬p是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．解析：设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)}＝{x|3a＜x＜a(a＜0)}，B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8＞0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}．∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴¬q⇒¬p，且¬p⇒/¬q，∴{x|－