2013届人教A版文科数学课时试题及解析14导数与函数单调性高中数学练习试题

1课时作业(十四)[第14讲导数与函数单调性][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．[2011·皖南八校联考]若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是先增后减的函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()图K14－12．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)3．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，且f(－3)·g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)4．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________.能力提升5．[2011·东北三校联考]函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)·f′(x)0，设a＝f(0)，b＝f12，c＝f(3)，则()A．abcB．cabC．cbaD．bca6．若a＝ln33，b＝ln55，c＝ln77，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac7．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的单调递减区间是()A．(2,4)B．(－3，－1)C．(1,3)D．(0,2)8．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为－33，33，则a的取值范围是()A．a＞0B．－1＜a＜0C．a＞1D．0＜a＜19．[2011·郴州二模]若x∈(0,2π)，则函数y＝sinx－xcosx的单调递增区间是________．10．已知a0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________．11．[2011·宁波十校联考]已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，f(－4)，f4π3，f－5π4的大小关系为________________(用“”连接)．12．(13分)设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求：(1)a的值；(2)函数f(x)的单调区间．2难点突破13．(12分)[2011·辽宁卷]已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a＞0，证明：当0＜x＜1a时，f1a＋x＞f1a－x；(3)若函数y＝f(x)的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明f′(x0)＜0.3课时作业(十四)【基础热身】1．C[解析]根据题意f′(x)在[a，b]上是先增后减的函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线斜率是先随x的增大而增大，然后随x的增大而减小，由四个选项的图形对比可以看出，只有选项C满足题意．2．D[解析]f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2，故选D.3．D[解析]f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(x)·g(x)为奇函数，x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)＞0，即x＜0时，[f(x)·g(x)]′＞0，∴f(x)·g(x)为增函数，且f(－3)·g(－3)＝0，根据奇函数性质可知，f(x)·g(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．4．－32－6[解析]因为f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题设知－1x2是不等式3x2＋2bx＋c0的解，所以－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得b＝－32，c＝－6.【能力提升】5．B[解析]由f(x)＝f(2－x)得f(3)＝f(2－3)＝f(－1)，又x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)0，可知f′(x)0，即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)f(0)f12，即cab.6．B[解析]令f(x)＝lnxx，∴f′(x)＝1－lnxx2，∴当xe时，f′(x)0，函数为减函数，又e357，因此abc.7．D[解析]由f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)知，当x∈(1,3)时，f′(x)0.函数f(x)在(1,3)上为减函数，函数f(x＋1)的图象是由函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，所以(0,2)为函数y＝f(x＋1)的单调减区间．8．A[解析]y′＝a(3x2－1)，解3x2－1＜0得－33＜x＜33，∴f(x)＝x3－x在－33，33上为减函数，又y＝a·(x3－x)的递减区间为－33，33，∴a＞0.9．(0，π)[解析]由y＝sinx－xcosx得y′＝xsinx.令y′0，即xsinx0，得0xπ(因为x∈(0,2π))，所以单调递增区间是(0，π)．10．3[解析]f′(x)＝3x2－a，在[1，＋∞)上f′(x)≥0，则a≤3x2，则a≤3.11．f4π3f(－4)f－5π4[解析]f′(x)＝sinx＋xcosx，当x∈5π4，4π3时，sinx0，cosx0，∴f′(x)＝sinx＋xcosx0，则f(x)在5π4，4π3上为减函数，∴f4π3f(4)f5π4，又函数f(x)为偶函数，∴f4π3f(－4)f－5π4.12．[解答](1)因为f(x)＝x3＋ax2－9x－1，所以f′(x)＝3x2＋2ax－9＝3x＋a32－9－a23.即当x＝－a3时，f′(x)取得最小值－9－a23.因为斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a23＝－12，即a2＝9.解得a＝±3，由题设a0，所以a＝－3.(2)由(1)知a＝－3，因此f(x)＝x3－3x2－9x－1，f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0，故f(x)在(－∞，－1)上为增函数；当x∈(－1,3)时，f′(x)0，故f(x)在(－1,3)上为减函数；4当x∈(3，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(3，＋∞)上为增函数．由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(－1,3)．【难点突破】13．[解答](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－2ax＋(2－a)＝－2x＋1ax－1x.①若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝1a，且当x∈0，1a时，f′(x)＞0，当x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0.所以f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a0时，f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．(2)证明：设函数g(x)＝f1a＋x－f1a－x，则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，g′(x)＝a1＋ax＋a1－ax－2a＝2a3x21－a2x2.当0＜x＜1a时，g′(x)＞0，而g(0)＝0，所以g(x)＞0.故当0＜x＜1a时，f1a＋x＞f1a－x.(3)由(1)可得，当a≤0时，函数y＝f(x)的图象与x轴至多有一个交点，故a0，从而f(x)的最大值为f1a，且f1a0.不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，0x1x2，则0x11ax2.由(2)得f2a－x1＝f1a＋1a－x1f(x1)＝0.从而x22a－x1，于是x0＝x1＋x221a.由(1)知，f′(x0)0.