2013届人教A版文科数学课时试题及解析16导数的应用高中数学练习试题

1课时作业(十六)[第16讲导数的应用][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．当x≠0时，有不等式()A．ex1＋xB．当x0时，ex1＋x，当x0时，ex1＋xC．ex1＋xD．当x0时，ex1＋x，当x0时，ex1＋x2．已知点P在函数f(x)＝sinx(x∈[0，π])的图象上，若过该点的图象的切线方程为y＝12x＋33－π6，则点P的坐标为()A.π6，12B.π3，32C.5π6，12D.2π3，323．图K16－1都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()图K16－1A．①②B．①③C．③④D．①④4．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围是________．能力提升5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f′(x)和y＝f(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()图K16－26．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．(－2,2)B．[－2,2]C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)7．下列不等式在(0，＋∞)上恒成立的是()A．lnxxB．sinxxC．tanxxx≠π2＋kπ，k∈ND．exx＋28．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R＝R(x)＝400x－12x20≤x≤400，80000x400，则总利润最大时，每年生产的产品数是()A．100B．1502C．200D．3009．函数f(x)＝13ax3＋12ax2－2ax＋2a＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是()A．－65a316B．－85a－316C．－85a－116D．－65a－31610．已知函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．11．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离x(千米)成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离x(千米)成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．12．已知函数f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则f′π4的值为________．13．函数y＝f(x)在定义域－32，3内可导，其图象如图K16－3，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．图K16－314．(10分)已知函数f(x)＝alnxx＋1＋bx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.(1)求a，b的值；(2)证明：当x0，x≠1时，f(x)lnxx－1.15．(13分)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求场地一面利用旧墙，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图K16－4所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙造价为180元/m，设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此场地围墙总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x的值，使修建此场地围墙总费用最小．图K16－43难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝lnx＋1x－1.(1)求函数的定义域，并证明f(x)＝lnx＋1x－1在定义域上是奇函数；(2)若x∈[2,6]时，f(x)lnmx－17－x恒成立，求实数m的取值范围；(3)当n∈N*时，试比较f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(2n)与2n＋2n2的大小关系．4课时作业(十六)【基础热身】1．C[解析]设y＝ex－1－x，∴y′＝ex－1，∴x0时，函数y＝ex－1－x是递增的，x0时，函数y＝ex－1－x是递减的，∴x＝0时，y有最小值y＝0.2．B[解析]切线的斜率为k＝12，设P点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝cosx0＝12，因为x0∈[0，π]，所以x0＝π3，从而y0＝32.故选B.3．C[解析]导函数的图象为抛物线，其变号零点为函数的极值点，因此③④不正确．4．m0[解析]y′＝ex＋m，由条件知ex＋m＝0有实数解，∴m＝－ex0.【能力提升】5．D[解析]D中两个函数图象有升有降，因此导函数图象应有正有负，而图中函数图象恒为正或恒为负，故D不可能正确．6．A[解析]f′(x)＝3x2－3，f(x)极大值＝f(－1)＝2＋a，f(x)极小值＝f(1)＝－2＋a，函数f(x)有3个不同零点，则2＋a0且－2＋a0，因此－2a2.7．C[解析]当x＝1时，A，B不成立；对于C，设f(x)＝tanx－xx≠π2＋kπ，k∈N，则f′(x)＝1cos2x－1＝1－cos2xcos2x＝sin2xcos2x≥0，因此f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)minf(0)＝0；对于D，令f(x)＝ex－x－2，f′(x)＝ex－10，故f(x)minf(0)＝－1，不符合题意．8．D[解析]由题意得，总成本函数为C＝C(x)＝20000＋100x，所以总利润函数为P＝P(x)＝R(x)－C(x)＝300x－x22－200000≤x≤400，60000－100xx400.而P′(x)＝300－x0≤x≤400，－100x400.令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，P最大．9．D[解析]f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)0，即163a＋156a＋10，解得－65a－316.10.22，＋∞[解析]∵f′(x)＝3x2－3a2(a0)，∴由f′(x)0得：xa或x－a，由f′(x)0得－axa.∴当x＝a时，f(x)有极小值，x＝－a时，f(x)有极大值．由题意得：a3－3a3＋a0，－a3＋3a3＋a0，a0.解得a22.11．5[解析]依题意可设每月土地占用费y1＝k1x，每月库存货物的运费y2＝k2x，k1，k2是比例系数，于是由2＝k110得k1＝20；由8＝10k2得k2＝45.因此，两项费用之和为y＝20x＋4x5(x0)，y′＝－20x2＋45，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．当0x5时，y′0；当x5时，y′0.因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．512.2－1[解析]因为f′(x)＝－f′π4sinx＋cosx，所以f′π4＝－f′π4sinπ4＋cosπ4，整理得f′π4＝2－1.13.－13，1∪[2,3)[解析]函数在－13，1和(2,3)上为减函数，且在x＝－13，1,2处均取得极值，因此f′(x)≤0的解集为－13，1∪[2,3)．14．[解答](1)∵f′(x)＝ax＋1x－lnxx＋12－bx2，由题意知：f1＝1，f′1＝－12，即b＝1，a2－b＝－12.∴a＝b＝1.(2)证明：由(1)知f(x)＝lnxx＋1＋1x，所以f(x)－lnxx－1＝11－x22lnx－x2－1x，设h(x)＝2lnx－x2－1x(x0)，则h′(x)＝－x－12x2，当x≠1时，h′(x)0，而h(1)＝0，故当x∈(0,1)时，h(x)0，当x∈(1，＋∞)时，h(x)0.得11－x2h(x)0.从而，当x0，x≠1时，f(x)－lnxx－10，即f(x)lnxx－1.15．[解答](1)设矩形另一边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.由已知ax＝360，∴a＝360x.∴y＝225x＋3602x－360(x＞0)．(2)y′＝225－3602x2，令y′＝0得x1＝－24(舍)，x2＝24.此时，x＝24是x∈(0，＋∞)内唯一的极值点，即为最小值点，且当x＝24时，y＝225×24＋360224－360＝10440.∴当x＝24时，修建围墙总费用最小值为10440元．【难点突破】16．[解答](1)由x＋1x－10，解得x－1或x1，∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝ln－x＋1－x－1＝lnx－1x＋1＝lnx＋1x－1－1＝－lnx＋1x－1＝－f(x)．∴f(x)＝lnx＋1x－1在定义域上是奇函数．(2)∵x∈[2,6]时，f(x)＝lnx＋1x－1lnmx－17－x恒成立，∴x＋1x－1mx－17－x0，∵x∈[2,6]，∴0m(x＋1)(7－x)在x∈[2,6]上恒成立．令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2,6]，由二次函数的性质可知6x∈[2,3]时g(x)单调递增，x∈[3,6]时g(x)单调递减，又g(2)＝15，g(6)＝7，故x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0m7.(3)f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(2n)＝ln31×53×75×…×2n＋12n－1＝ln(2n＋1)．证法一：设函数h(x)＝lnx－(x－1)，x∈[1，＋∞)，则x∈(1，＋∞)时，h′(x)＝1－xx0，即h(x)在(1，＋∞)上递减，所以h(x)h(1)＝0，故lnxx－1在x∈[1，＋∞)上恒成立，则当x＝2n＋1(n∈N*)时，ln(2n＋1)2n2n2＋2n成立．证法二：构造函数h(x)＝ln(1＋x)－x＋x22(x0)，h′(x)＝1x＋1－x－1＝－x2－2xx＋1，当x0时，h′(x)0，∴h(x)＝ln(1＋x)－x＋x22在(0，＋∞)上单调递减，∴h(x)h(0)＝0，∴当x＝2n(n∈N*)时，ln(1＋2n)－(2n＋2n2)0，∴ln(1＋2n)2n＋2n2.