2013届人教A版文科数学课时试题及解析22简单的三角恒等变换高中数学练习试题

1课时作业(二十二)[第22讲简单的三角恒等变换][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是()A．0B.12C.32D．－122．已知cosα－π4＝14，则sin2α的值为()A.3132B．－3132C．－78D.783．设－3πα－5π2，则化简1－cosα－π2的结果是()A．sinα2B．cosα2C．－cosα2D．－sinα24．已知α、β为锐角，cosα＝45，tan(α－β)＝－13，则tanβ的值为()A.13B.139C.1315D.59能力提升5．cosπ12＋3sinπ12的值为()A．－2B.2C.12D.36．已知cosα＋π6＋sinα＝235，则sinα＋π3的值是()A．－235B.235C．－45D.457．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π2的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π2的偶函数8.2cos80°＋cos160°cos70°的值是()A．－12B．－32C．－3D．－29．若函数f(x)＝(3－tanx)cosx，－π2≤x≤0，则f(x)的最大值为()A．1B．2C.3＋1D.3＋210．设α、β均为锐角，cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，则cosβ＝________.11．化简3－tan18°1＋3tan18°＝________.212．已知－3π2＜α＜－π，则12＋12·12＋12cos2α的值为________．13．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2A2，则△ABC是________三角形．14．(10分)已知函数f(x)＝sinxcosx＋sin2x.(1)求fπ4的值；(2)若x∈0，π2，求f(x)的最大值及相应的x值．15．(13分)已知函数f(x)＝cosx2·3sinx2＋cosx2.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若f(x)＝1，求cos2π3－2x的值．难点突破16．(12分)设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2π2－x满足f－π3＝f(0)．求函数f(x)在π4，11π24上的最大值和最小值．课时作业(二十二)【基础热身】31．B[解析]原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.2．C[解析]方法1：sin2α＝cosπ2－2α＝2cos2α－π4－1＝－78，故选C.方法2：cosα－π4＝22cosα＋22sinα＝14，两边平方得，12＋12sin2α＝116，∴sin2α＝－78，故选C.3．C[解析]∵－3πα－52π，∴－32πα2－54π，∴cosα20，∴原式＝1＋cosα2＝cosα2＝－cosα2.4．B[解析]∵α是锐角，cosα＝45，故sinα＝35，tanα＝34，∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanαtanα－β＝139.【能力提升】5．B[解析]∵cosπ12＋3sinπ12＝212cosπ12＋32sinπ12＝2cosπ3cosπ12＋sinπ3sinπ12＝2cosπ3－π12＝2cosπ4＝2.6．B[解析]cosα＋π6＋sinα＝32cosα－12sinα＋sinα＝32cosα＋12sinα＝sinα＋π3＝235.7．D[解析]f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝2cos2xsin2x＝12sin22x＝1－cos4x4，故选D.8．C[解析]原式＝2sin10°－cos20°sin20°＝2sin30°－20°－cos20°sin20°＝－3sin20°sin20°＝－3.9．B[解析]f(x)＝(3－tanx)cosx＝3cosx－sinx＝2sinπ3－x，因为－π2≤x≤0，所以π3≤π3－x≤5π6，所以12≤sinπ3－x≤1，所以函数的最大值为2.故选B.10.12[解析]∵α、β均为锐角，∴sinα＝437，sin(α＋β)＝5314，cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝－1114×17＋5314×437＝12.11．tan42°[解析]原式＝tan60°－tan18°1＋tan60°tan18°＝tan(60°－18°)＝tan42°.12．－sinα2[解析]原式＝12＋12cos2α＝12＋12－cosα＝121－cosα＝－sinα2.413．等腰[解析]∵sinBsinC＝cos2A2，∴sinBsinC＝1＋cosA2，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)，2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，即cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，∴B＝C.14．[解答](1)由f(x)＝sinxcosx＋sin2x，得fπ4＝sinπ4cosπ4＋sin2π4＝222＋222＝1.(2)f(x)＝sinxcosx＋sin2x＝12sin2x＋1－cos2x2＝12(sin2x－cos2x)＋12＝22sin2x－π4＋12.由x∈0，π2，得2x－π4∈－π4，3π4，所以，当2x－π4＝π2，即x＝38π时，f(x)取到最大值为1＋22.15．[解答](1)f(x)＝cosx23sinx2＋cosx2＝32sinx＋12(1＋cosx)＝sinx＋π6＋12.所以函数f(x)的最小正周期为T＝2π.令2kπ－π2≤x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，得2kπ－2π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z.函数y＝f(x)的单调递增区间为2kπ－2π3，2kπ＋π3，(k∈Z)．(2)f(x)＝sinx＋π6＋12＝1，即sinx＋π6＝12.cos2π3－2x＝cos2π3－x＝2cos2π3－x－1＝2sin2x＋π6－1＝－12.【难点突破】16．[解答]f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝a2sin2x－cos2x.由f－π3＝f(0)，得－32·a2＋12＝－1，解得a＝23.因此f(x)＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6.当x∈π4，π3时，2x－π6∈π3，π2，f(x)为增函数，当x∈π3，11π24时，2x－π6∈π2，3π4，f(x)为减函数．所以f(x)在π4，11π24上的最大值为fπ3＝2.又因fπ4＝3，f11π24＝2，故f(x)在π4，11π24上的最小值为f11π24＝2.