2013届人教A版文科数学课时试题及解析26平面向量的应用高中数学练习试题

1课时作业(二十六)[第26讲平面向量的应用][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用，两力大小都为53N，则两个力的合力的大小为()A．103NB．0NC．56ND.562N2．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是()A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OC→＝a1OA→＋a200OB→，且A、B、C三点共线(该直线不过原点)，则S200＝()A．100B．101C．200D．2014．若向量a＝(2sinα，1)，b＝(2sin2α＋m，cosα)(α∈R)，且a∥b，则m的最小值为________．能力提升5．已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为()A．53NB．5NC．10ND．52N6．设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于()A．2B.3C.2D．17．在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，QA→＋QB→＋QC→＝BC→，RA→＋RB→＋RC→＝CA→，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶58．把圆C：x2＋y2＝12按向量a＝(h，－1)平移后得圆C1，若圆C1在不等式x＋y＋1≥0所确定的平面区域内，则h的最小值为()A．1B．－1C.33D．－339．已知向量a，e满足：a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则()A．a⊥eB．a⊥(a－e)C．e⊥(a－e)D．(a＋e)⊥(a－e)10．在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．11．已知两个单位向量a和b的夹角为135°，则当|a＋λb|1时λ的取值范围是________________．12．在△ABC中，C＝π2，AC＝1，BC＝2，则f(λ)＝|2λCA→＋(1－λ)CB→|的最小值是________．13．已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0≤OP→·OM→≤1,0≤OP→·ON→≤1，则z＝OQ→·OP→的最大值为________．14．(10分)已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，2且AE＝2EB.用向量的方法证明：AD⊥CE.15．(13分)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.难点突破16．(12分)已知P(x，y)，A(－1,0)，向量PA→与m＝(1,1)共线．(1)求y关于x的函数；(2)在直线y＝2x和直线y＝3x上是否分别存在一点B，C，使得满足∠BPC为锐角时x的取值集合为{x|x－7或x7}？若存在，求出这样的B，C的坐标；若不存在，说明理由．3课时作业(二十六)【基础热身】1．C[解析]根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为2×53＝56(N)．2．A[解析]由于a⊥b，则f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝x(b2－a2)，而|a|≠|b|，则b2－a2≠0，故函数f(x)是一次函数，且为奇函数．3．A[解析]依题意，a1＋a200＝1，S200＝200a1＋a2002＝100.4．－2－1[解析]因a＝(2sinα，1)，b＝(2sin2α＋m，cosα)(α∈R)，且a∥b，得2sinαcosα＝2sin2α＋m，得m＝－2sin2α＋2sinαcosα，＝cos2α＋sin2α－1＝2sin2α＋π4－1，m的最小值为－2－1.【能力提升】5．B[解析]|F1|＝|F|·cos60°＝5N.6．A[解析]设向量a，b，c的起点为O，终点分别为A，B，C，由已知条件得，∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，则点C在△AOB的外接圆上，当OC经过圆心时，|c|最大，在△AOB中，求得AB＝3，由正弦定理得△AOB外接圆的直径是3sin120°＝2，|c|的最大值是2.7．B[解析]由PA→＋PB→＋PC→＝AB→，PA→＋PC→＝AB→－PB→，即PA→＋PC→＝AB→＋BP→，PA→＋PC→＝AP→，∴PC→＝2AP→，P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q、R的位置，△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积，∴面积比为1∶3.8．A[解析]圆C：x2＋y2＝12按向量a＝(h，－1)平移后得圆C1(x－h)2＋(y＋1)2＝12，若圆C1在不等式x＋y＋1≥0所确定的平面区域内，|h－1＋1|2≥22且h0，所以h≥1.9．C[解析]由条件可知|a－te|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又∵|e|＝1，∴t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0对t∈R恒成立，即Δ＝4(a·e)2－8a·e＋4≤0恒成立．∴(a·e－1)2≤0恒成立，而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0.即a·e＝1＝e2，∴e·(a－e)＝0，即e⊥(a－e)．10．北偏西30°[解析]如图，渡船速度为OB→，水流速度为OA→，船实际垂直过江的速度为OD→，依题意知，|OA→|＝12.5，|OB→|＝25，由于四边形OADB为平行四边形，则|BD|＝|OA|，又OD⊥BD，∴在Rt△OBD中，∠BOD＝30°，∴航向为北偏西30°.11．(－∞，0)∪(2，＋∞)[解析]|a＋λb|1，得到a2＋(λb)2＋2λa·b1，即1＋λ2＋2λ×－221，λ2－2λ0，∴λ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．12.2[解析]以C为原点，CA，CB所在直线为y轴，x轴建立直角坐标系，所以CA→＝(0,1)，CB→＝(2,0)，即2λCA→＋(1－λ)CB→＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f(λ)＝22λ2－2λ＋1，故最小值为2，在λ＝12时取得．413．3[解析]由题意OP→＝(x，y)，OM→＝(1,1)，ON→＝(0,1)，∴OP→·OM→＝x＋y，OP→·ON→＝y，即在0≤x＋y≤1，0≤y≤1，条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划知当x＝0，y＝1时有最大值3.14．[解答]证明：以C为原点，CA、CB所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系．设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D0，a2，C(0,0)，E13a，23a.∴AD→＝－a，a2，CE→＝13a，23a.∵AD→·CE→＝－a·13a＋a2·23a＝0，∴AD⊥CE.15．[解答](1)因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0.所以4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，所以tan(α＋β)＝2.(2)由条件得，b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)．所以|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β.又17－15sin2β的最大值为32，所以|b＋c|的最大值为42.(3)证明：由tanαtanβ＝16得，sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，所以a∥b.【难点突破】16．[解答](1)由题设得，存在实数λ，使得(－1－x，－y)＝λ(1,1)，∴x＝－1－λ，y＝－λ，消去λ得y＝x＋1，∴y关于x的函数为y＝x＋1.(2)假设存在满足条件的点B，C，并设B(a,2a)，C(b,3b)，P(x，x＋1)．则PB→＝(a－x,2a－x－1)，PC→＝(b－x,3b－x－1)，由∠BPC为锐角，得PB→·PC→＝(a－x,2a－x－1)·(b－x,3b－x－1)0，即(x－a)(x－b)＋(x＋1－2a)(x＋1－3b)0，整理得2x2－(3a＋4b－2)x＋(7ab－2a－3b＋1)0，由x的取值集合为{x|x－7或x7}得3a＋4b－22＝0，7ab－2a－3b＋12＝－7，解之得a＝2，b＝－1或a＝－97，b＝4128.∴存在B(2,4)，C(－1，－3)或B－97，－187，C4128，12328满足题设条件．