2013届人教A版文科数学课时试题及解析27正弦定理和余弦定理A高中数学练习试题

1课时作业(二十七)A[第27讲正弦定理和余弦定理][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b＝()A．52B．102C.1063D．562．在△ABC中，若sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积是()A．9B．18C．93D．1834．在△ABC中，已知cosA＝513，sinB＝35，则cosC的值为()A.1665B．－1665C.5665D．－5665能力提升5．判断下列说法，其中正确的是()A．a＝7，b＝14，A＝30°有两解B．a＝30，b＝25，A＝150°只有一解C．a＝6，b＝9，A＝45°有两解D．b＝9，c＝10，B＝60°无解6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝()A．－12B.12C．－1D．17．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A.43B．8－43C．1D.238．若sinAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC是()A．等边三角形B．直角三角形，且有一个角是30°C．等腰直角三角形D．等腰三角形，且有一个角是30°9．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sinA＋sinCsinB＝________.10．在△ABC中，若S△ABC＝14(a2＋b2－c2)，那么角C＝________.11．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A∶B＝1∶2，且a∶b＝1∶3，则cos2B的值是________．12．(13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC.(1)求cosA的值；(2)若a＝1，cosB＋cosC＝233，求边c的值．2难点突破13．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，△ABC的周长为5，求b的长．3课时作业(二十七)A【基础热身】1．D[解析]由asinA＝bsinB得，b＝asinBsinA＝10sin60°sin45°＝56.2．B[解析]用正弦定理可以将条件：sin2A＝sin2B＋sin2C化为a2＝b2＋c2.3．C[解析]由条件易得A＝B＝30°，所以b＝a＝6，S＝12absinC＝12×6×6×32＝93.4．A[解析]由已知可得sinA＝1213，sinAsinB，由于在△ABC中，由sinAsinB⇔AB知角B为锐角，故cosB＝45，所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝2065－3665＝－1665，故cosC＝1665.【能力提升】5．B[解析]A中，由正弦定理得sinB＝bsinAa＝14×127＝1，所以B＝90°，故只有一解，A错误；B中，由正弦定理得sinB＝bsinAa＝25×12301，又A为钝角，故只有一解，B正确；C中，由正弦定理得sinB＝bsinAa＝9×2261，所以角B不存在，故无解，C错误；D中，由正弦定理得sinC＝csinBb＝10×3291，因为bc，B＝60°，且0°C180°，所以角C有两解，D错误．故选B.6．D[解析]∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sin2B，∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.7．A[解析]由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4.①由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝2abcos60°＝ab，②将②代入①得ab＋2ab＝4，即ab＝43.故选A.8．C[解析]在△ABC中，由正弦定理：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入sinAa＝cosBb＝cosCc得：sinA2RsinA＝cosB2RsinB＝cosC2RsinC，∴sinBcosB＝sinCcosC＝1.∴tanB＝tanC＝1，∴B＝C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．9.54[解析]由正弦定理知，原式＝BC＋BAAC，又由椭圆定义知BC＋BA＝10，AC＝8，∴原式＝54.10.π4[解析]根据三角形面积公式得，S＝12absinC＝14(a2＋b2－c2)，∴sinC＝a2＋b2－c22ab.又由余弦定理：cosC＝a2＋b2－c22ab，∴sinC＝cosC，∴C＝π4.11．－12[解析]因为a∶b＝1∶3，所以sinA∶sinB＝1∶3，又A∶B＝1∶2，则B＝2A，所以sinA∶sinB＝sinA∶sin2A＝1∶3，即cosA＝32，∴A＝30°，∴B＝60°.cos2B＝4cos120°＝－12.12．[解答](1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC，有ccosB＋bcosC＝a，代入已知条件得3acosA＝a，即cosA＝13.(2)由cosA＝13得sinA＝223，则cosB＝－cos(A＋C)＝－13cosC＋223sinC，代入cosB＋cosC＝233，得cosC＋2sinC＝3，从而得sin(C＋φ)＝1，其中sinφ＝33，cosφ＝63，0φπ2.则C＋φ＝π2，于是sinC＝63，由正弦定理得c＝asinCsinA＝32.【难点突破】13．[解答](1)由正弦定理，设asinA＝bsinB＝csinC＝k.则2c－ab＝2ksinC－ksinAksinB＝2sinC－sinAsinB.所以原等式可化为cosA－2cosCcosB＝2sinC－sinAsinB.即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，又因为A＋B＋C＝π，所以原等式可化为sinC＝2sinA，因此sinCsinA＝2.(2)由正弦定理及sinCsinA＝2得c＝2a，由余弦定理及cosB＝14得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c＝5.从而a＝1，因此b＝2.