2013届人教A版文科数学课时试题及解析51双曲线A高中数学练习试题

1课时作业(五十一)A[第51讲双曲线][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．22C．4D．422．设集合P＝x，yx24－y2＝1，Q＝{(x，y)|x－2y＋1＝0}，记A＝P∩Q，则集合A中元素的个数是()A．3B．1C．2D．43．双曲线x216－y29＝1的焦点到渐近线的距离为()A．2B．3C．4D．54．双曲线y27－x29＝1的共轭双曲线的离心率是________．能力提升5．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()A.6B.5C.62D.526．设双曲线x2a2－y29＝1(a0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．4B．3C．2D．17．从x2m－y2n＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为()A.12B.47C.23D.348．双曲线y26－x23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r0)相切，则r＝()A.6B．3C．4D．6图K51－19．如图K51－1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝2AD，设∠DAB＝θ，θ∈0，π2，以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1·e2＝________.10．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．11．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝3x，它的一个焦点为F(6,0)，则双曲线的方程为________．12．(13分)双曲线C与椭圆x227＋y236＝1有相同焦点，且经过点(15，4)．(1)求双曲线C的方程；(2)若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面积．难点突破213．(1)(6分)已知双曲线x2a2－y2b2＝1和椭圆x2m2＋y2b2＝1(a0，mb0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形(2)(6分)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D．83课时作业(五十一)A【基础热身】1．C[解析]双曲线方程可化为x24－y28＝1，所以a2＝4，得a＝2，所以2a＝4.故实轴长为4.2．B[解析]由于直线x－2y＋1＝0与双曲线x24－y2＝1的渐近线y＝12x平行，所以直线与双曲线只有一个交点，所以集合A中只有一个元素．故选B.3．B[解析]双曲线x216－y29＝1的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是3x－4y＝0，由点到直线的距离公式可得d＝|3×5－0|5＝3.故选B.4.43[解析]双曲线y27－x29＝1的共轭双曲线是x29－y27＝1，所以a＝3，b＝7，所以c＝4，所以离心率e＝43.【能力提升】5．D[解析]设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，所以其渐近线方程为y＝±bax，因为点(4，－2)在渐近线上，所以ba＝12.根据c2＝a2＋b2，可得c2－a2a2＝14，解得e2＝54，所以e＝52，故选D.6．C[解析]根据双曲线x2a2－y29＝1的渐近线方程得：y＝±3ax，即ay±3x＝0.又已知双曲线的渐近线方程为3x±2y＝0且a0，所以有a＝2，故选C.7．B[解析]若方程表示圆锥曲线，则数组(m，n)只有7种：(2，－1)，(3，－1)，(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以概率为P＝47.故选B.8．A[解析]双曲线的渐近线为y＝±2x，圆心为(3,0)，所以半径r＝|±2×3－0|3＝6.故选A.9．1[解析]作DM⊥AB于M，连接BD，设AB＝2，则DM＝sinθ，在Rt△BMD中，由勾股定理得BD＝5－4cosθ，所以e1＝|AB|||BD|－|AD||＝25－4cosθ－1，e2＝|CD||AC|＋|AD|＝2－2cosθ5－4cosθ＋1，所以e1·e2＝1.10．[2，＋∞)[解析]依题意，双曲线的渐近线中，倾斜角的范围是[60°，90°)，所以ba≥tan60°＝3，即b2≥3a2，c2≥4a2，所以e≥2.11.x29－y227＝1[解析]ba＝3，即b＝3a，而c＝6，所以b2＝3a2＝3(36－b2)，得b2＝27，a2＝9，所以双曲线的方程为x29－y227＝1.12．[解答](1)椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1，则a2＋b2＝32＝9.①又双曲线经过点(15，4)，所以16a2－15b2＝1，②4解①②得a2＝4，b2＝5或a2＝36，b2＝－27(舍去)，所以所求双曲线C的方程为y24－x25＝1.(2)由双曲线C的方程，知a＝2，b＝5，c＝3.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a＝4，平方得m2－2mn＋n2＝16.①在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mncos120°＝m2＋n2＋mn＝36.②由①②得mn＝203，所以△F1PF2的面积为S＝12mnsin120°＝533.【难点突破】13．(1)B(2)B[解析](1)依题意有a2＋b2a·m2－b2m＝1，化简整理得a2＋b2＝m2，故选B.(2)在△F1PF2中，由余弦定理得，cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|，＝|PF1|－|PF2|2－|F1F2|2＋2|PF1|·|PF2|2|PF1|·|PF2|，＝4a2－4c22|PF1|·|PF2|＋1＝－4b22|PF1|·|PF2|＋1.因为b＝1，所以|PF1|·|PF2|＝4.故选B.