2013届人教A版文科数学课时试题及解析51双曲线B高中数学练习试题

1课时作业(五十一)B[第51讲双曲线][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．下列双曲线中，离心率为62的是()A.x22－y23＝1B.x23－y26＝1C．－x22＋y24＝1D．－x22＋y26＝12．双曲线x2m－y23m＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是()A．1B．－1C．－105D.1053．若k∈R，则“k5”是“方程x2k－5－y2k＋2＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线x25－y24＝1的顶点和焦点，则椭圆C的方程是________．能力提升5．与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.x24－y2＝1B.x22－y2＝1C.x23－y23＝1D．x2－y22＝16．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.2B.3C.3＋12D.5＋127．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1→·PF2→的最小值为()A．－2B．－8116C．1D．08．双曲线x216－y29＝1上到定点(5,0)的距离是9的点的个数是()A．0B．2C．3D．49．双曲线2x2－3y2＝1的渐近线方程是________．10．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，e1＝(2,1)、e2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若OP→＝ae1＋be2(a、b∈R)，则a、b满足的一个等式是________．11．双曲线的渐近线为y＝±43x，则双曲线的离心率为________．12．(13分)点M(x，y)到定点F(5,0)距离和它到定直线l：x＝95的距离的比是53.(1)求点M的轨迹方程；(2)设(1)中所求方程为C，在C上求点P，使|OP|＝34(O为坐标系原点)．2难点突破13．(12分)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)．(1)求双曲线方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若|MQ→|＝2|QF→|，求直线l的方程．3课时作业(五十一)B【基础热身】1．C[解析]计算知，选项C正确，故选C.2．B[解析]由焦点坐标知，焦点在y轴上，m0，∴双曲线的标准方程为y2－3m－1－m＝1，∴－m－3m＝4，∴m＝－1.3．A[解析]当k5时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k5或k－2.故选A.4.x29＋y24＝1[解析]由题意可知，双曲线x25－y24＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)、(5，0)．设椭圆C的方程是x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则a＝3，c＝5，b＝2，所以椭圆C的方程为x29＋y24＝1.【能力提升】5．B[解析]椭圆的焦点坐标为(±3，0)，四个选项中，只有x22－y2＝1的焦点为(±3，0)，且经过点P(2,1)．故选B.6．D[解析]设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，设F(c,0)，B(0，b)，直线FB的斜率为－bc，与其垂直的渐近线的斜率为ba，所以有－b2ac＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，两边同时除以a2可得e2－e－1＝0，解得e＝1＋52.7．A[解析]由已知可得A1(－1,0)，F2(2,0)，设点P的坐标为(x，y)，则PA1→·PF2→＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－x－2＋y2，因为x2－y23＝1(x≥1)，所以PA1→·PF2→＝4x2－x－5，当x＝1时，PA1→·PF2→有最小值－2.故选A.8．C[解析](5,0)是双曲线的右焦点，它到双曲线左顶点的距离为9，所以以(5,0)为圆心，以9为半径作圆，该圆与双曲线的右支有两个交点，所以共有3个这样的点．9．y＝±63x[解析]双曲线2x2－3y2＝1的渐近线方程为2x±3y＝0，即y＝±63x.10．4ab＝1[解析]易知双曲线Γ的方程为x24－y2＝1，设P(x0，y0)，又e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，由OP→＝ae1＋be2，得(x0，y0)＝a(2，1)＋b(2，－1)，即(x0，y0)＝(2a＋2b，a－b)，∴x0＝2a＋2b，y0＝a－b，代入x24－y2＝1整理得4ab＝1.11.53或54[解析]当焦点在y轴上时，ab＝43，即9a2＝16b2＝16(c2－a2)，解得e＝54；当焦点在x轴上时，ba＝43，即16a2＝9b2＝9(c2－a2)，解得e＝53.12．[解答](1)|MF|＝x－52＋y2，点M到直线l的距离d＝x－95，依题意，有x－52＋y2x－95＝53，去分母，得3x－52＋y2＝|5x－9|，4平方整理得x29－y216＝1，即为点M的轨迹方程．(2)设点P坐标为P(x，y)，由|OP|＝34得x2＋y2＝34，解方程组x29－y216＝1，x2＋y2＝34，得x＝32，y＝4或x＝－32，y＝－4或x＝－32，y＝4或x＝32，y＝－4，∴点P为(32，4)或(－32，－4)或(－32，4)或(32，－4)．【难点突破】13．[解答](1)由题意可设所求的双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则有e＝ca＝2，c＝2，所以a＝1，则b＝3，所以所求的双曲线方程为x2－y23＝1.(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0)，所以l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)，令x＝0，得M(0,2k)，因为|MQ→|＝2|QF→|且M、Q、F共线于l，所以MQ→＝2QF→或MQ→＝－2QF→.当MQ→＝2QF→时，xQ＝－43，yQ＝23k，所以Q的坐标为－43，23k，因为Q在双曲线x2－y23＝1上，所以169－4k227＝1，所以k＝±212，所以直线l的方程为y＝±212(x＋2)，当MQ→＝－2QF→时，同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得，16－4k23＝1，所以k＝±352，所以直线l的方程为y＝±352(x＋2)．综上：所求的直线l的方程为y＝±212(x＋2)或y＝±352(x＋2)．