2013届人教A版理科数学课时试题及解析66合情推理与演绎推理高中数学练习试题

1课时作业(六十六)[第66讲合情推理与演绎推理][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．在等差数列{an}中，若an0，公差d0，则有a4·a6a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn0，公比q1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A．b4＋b8b5＋b7B．b4＋b8b5＋b7C．b4＋b7b5＋b8D．b4＋b7b5＋b82．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是()A．P(2007)＝403B．P(2008)＝404C．P(2009)＝403D．P(2010)＝4043．已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m、n∈N*)，则am＋n＝bn－amn－m；现已知等比数列{bn}(bn0，n∈N*)，bm＝a，bn＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝()A.m－nbmanB.n－mbnamC.n－mbnamD.n－mbman4．有下列推理：①A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a|AB|，则P的轨迹为椭圆；②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式；③由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πab；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．以上推理不是归纳推理的序号是________．(把所有你认为正确的序号都填上)能力提升5．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，n∈N，则f2013(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx6．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C．由平面正三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1＋1an－1(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式27．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)且法向量为n＝(－1，－2,1)的平面的方程为()A．x＋2y－z－2＝0B．x－2y－z－2＝0C．x＋2y＋z－2＝0D．x＋2y＋z＋2＝08．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝13x是指数函数(小前提)，所以y＝13x是增函数(结论)”，上面推理的错误是()A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错9．把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为()124357681012911131517141618202224A．105B．106C．107D．10810．对于命题：若O是线段AB上一点，则有|OB→|·OA→＋|OA→|·OB→＝0.将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC·OA→＋S△OCA·OB→＋S△OAB·OC→＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________．11．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看做(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________②，②式可以用语言叙述为：________________.12．在计算“11×2＋12×3＋…＋1nn＋1(n∈N*)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：1kk＋1＝1k－1k＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1nn＋1＝1n－1n＋1，相加，得11×2＋12×3＋…＋1nn＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.类比上述方法，请你计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1nn＋1n＋2(n∈N*)”，其结果为________．13．如图K66－1，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)……3图K66－1试用n表示出第n个图形的边数an＝________.14．(10分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图K66－2为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：1f1＋1f2＋1f3＋…＋1fn43.图K66－215．(13分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图K66－3为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求1f1＋1f2－1＋1f3－1＋…＋1fn－1的值．图K66－3难点突破16．(12分)规定Cmx＝x·x－1·…·x－m＋1m！，其中x∈R，m是正整数，且C0x＝1，这是组合数Cmn(m，n是正整数，且m≤n的一种推广)．(1)求C5－15的值；(2)组合数的两个性质：①Cmn＝Cn－mn.②Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1.是否都能推广到Cmx(x∈R，m是正整然)的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由．(3)已知组合数Cmn是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，Cmx∈Z.4课时作业(六十六)【基础热身】1．A[解析]在等差数列{an}中，由于4＋6＝3＋7时有a4·a6a3·a7，所以在等比数列{bn}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8b5＋b7或b4＋b8b5＋b7.∵b4＝b1q3，b5＝b1q4，b7＝b1q6，b8＝b1q7∴(b4＋b8)－(b5＋b7)＝(b1q3＋b1q7)－(b1q4＋b1q6)＝b1q6·(q－1)－b1q3(q－1)＝(b1q6－b1q3)(q－1)＝b1q3(q3－1)(q－1)．∵q1，bn0，∴b4＋b8b5＋b7.故选A.2．D[解析]显然每5秒前进一个单位，且P(1)＝1，P(2)＝2，P(3)＝3，P(4)＝2，P(5)＝1，∴P(2007)＝P(5×401＋2)＝401＋2＝403，P(2008)＝404，P(2009)＝403，P(2010)＝402，故选D.3．B[解析]等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bn－am可以类比等比数列中的bnam，等差数列中的bn－amn－m可以类比等比数列中的n－mbnam.故bm＋n＝n－mbnam.4．①③④[解析]①为演绎推理，②为归纳推理，③④为类比推理．【能力提升】5．C[解析]f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx＝f1(x)，f6(x)＝(cosx)′＝－sinx＝f2(x)，fn＋4(x)＝…＝…＝fn(x)，故可猜测fn(x)以4为周期，有f4n＋1(x)＝f1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝f2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝f3(x)＝－cosx，f4n＋4(x)＝f4(x)＝sinx，所以f2013(x)＝f503×4＋1(x)＝f1(x)＝cosx，故选C.6．A[解析]两条直线平行，同旁内角互补——大前提，∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提，∠A＋∠B＝180°——结论．故A是演绎推理，而B、D是归纳推理，C是类比推理．故选A.7．A[解析]类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0即x＋2y－z－2＝0.8．A[解析]y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．9．C[解析]由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.10．VO－BCD·OA→＋VO－ACD·OB→＋VO－ABD·OC→＋VO－ABC·OD→＝0[解析]平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积．11.43πR3′＝4πR2球的体积函数的导数等于球的表面积函数12.n2＋3n4n＋1n＋2[解析]∵1kk＋1k＋2＝121kk＋1－1k＋1k＋2，依次裂项，求和5得n2＋3n4n＋1n＋2.13．3×4n－1[解析]a1＝3，a2＝12，a3＝48，可知an＝3×4n－1.14．[解答](1)f(4)＝37，f(5)＝61.由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.(2)证明：当k≥2时，1fk＝13k2－3k＋113k2－3k＝131k－1－1k.所以1f1＋1f2＋1f3＋…＋1fn1＋131－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1＋131－1n1＋13＝43.15．[解答](1)f(5)＝41.(2)由题图可得f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4.由上式规律，可得f(n＋1)－f(n)＝4n.因为f(n＋1)－f(n)＝4n，所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，所以f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)…＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.(3)当n≥2时，1f1＋1f2－1＋1f3－1＋…＋1fn－1＝11＋12×22－2×2＋1－1＋12×32－2×3＋