2013年全国高校自主招生数学模拟试卷8高中数学练习试题

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷八一、选择题（36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0，x∈R}的子集的个数为（A）1（B）2（C）4（D）不确定【答】（C）【解】方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a20，方程有两个不相等的实数根．由M有2个元素，得集合M有22=4个子集．2．命题1长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;命题2长方体中，必存在到各棱距离相等的点;命题3长方体中，必存在到各面距离相等的点.以上三个命题中正确的有（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个【答】（B）【解】只有命题1对．3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以为周期、在(0，2)上单调递增的偶函数是（A）y=sin|x|（B）y=cos|x|（C）y=|ctgx|（D）y=lg|sinx|【答】（D）【解】y=sin|x|不是周期函数．y=cos|x|=cosx以2为周期．y=|ctgx|在（0，2）上单调递减．只有y=lg|sinx|满足全部条件．4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（A）k=38（B）0k≤12（C）k≥12（D）0k≤12或k=38【答】（D）【解】根据题设，△ABC共有两类如图．易得k=38或0k≤12．本题也可用特殊值法，排除（A）、（B）、（C）．5．若10002)1(xx的展开式为200020002210xaxaxaa，12kCBA60°12kABC60°则19989630aaaaa的值为（A）3333（B）6663（C）9993（D）20013【答】（C）【解】令x=1可得10003=20003210aaaaa；令x=可得0=20002000332210aaaaa；（其中i2321，则3=1且2++1=0）令x=2可得0=400020006342210aaaaa．以上三式相加可得10003=3（19989630aaaaa）．所以19989630aaaaa=9993．6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）．（A）2枝玫瑰价格高（B）3枝康乃馨价格高（C）价格相同（D）不确定【答】（A）【解】设玫瑰与康乃馨的单价分别为x、y元/枝．则6x+3y24,4x+5y22.令6x+3y=a24,4x+5y=b22,解出x=)35(181ba,y=)23(91ab.所以2x-3y=)22122411(91)1211(91ba=0，即2x3y．也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究．二、填空题（54分，每小题9分）7．椭圆cos21的短轴长等于332．【解】.31)(,1)0(caca故3331,32bca．从而3322b．8．若复数z1，z2满足|z1|=2，|z2|=3，3z1-2z2=i23，则z1·z2=i13721330．【解】由3z1-2z2=2111222131zzzzzz=)32(611221zzzz可得iizzzzzzzzzz2323632)23(632)23(61221122121i13721330．本题也可设三角形式进行运算．9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是66．【解】作正方体的截面BB1D1D，则A1C1⊥面BB1D1D．设A1C1与B1D1交于点O，在面BB1D1D内作OH⊥BD1，H为垂足，则OH为A1C1与BD1的公垂线．显然OH等于直角三角形BB1D1斜边上高的一半，即OH=66．10.不等式232log121x的解集为),4()2,1()1,0(72．【解】232log121x等价于232log121x或232log121x．即21log121x或27log121x．此时2log21x或0log21x或0log7221x．∴解为x4或0x1或1x722．即解集为),4()2,1()1,0(72．11．函数232xxxy的值域为),2[)23,1[．【解】232xxxy0232xyxx．两边平方得2)32(2yxy，从而23y且3222yyx．由03222yyyxy231032232yyyy或2y．1111HODCBADCBA任取2y，令3222yyx，易知2x，于是0232xx且232xxxy．任取231y，同样令3222yyx，易知1x，于是0232xx且232xxxy．因此，所求函数的值域为),2[)23,1[．12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有732种栽种方案．【解】考虑A、C、E种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种方法．考虑A、C、E种二种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法．考虑A、C、E种三种植物，此时共有P43×2×2×2=192种方法．故总计有108+432+192=732种方法．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1=a12，b2=a22，b3=a32（a1a2），又12)(lim21nnbbb．试求{an}的首项与公差．【解】设所求公差为d，∵a1a2，∴d0．由此得a12(a1+2d)2=(a1+d)4化简得2a12+4a1d+d2=0解得d=(22)a1.………………………………………………………………5分而220，故a10．若d=(22)a1，则22122)12(aaq；若d=(22)a1，则22122)12(aaq；…………………………………………10分但12)(lim21nnbbb存在，故|q|1．于是2)12(q不可能．ABCDEF从而2)12)(222(12)12(121221aa．所以a1=2，d=(22)a1=(22)(2)=222．……………………20分14．设曲线C1：1222yax（a为正常数）与C2：y2=2（x+m）在x轴上方仅有一个公共点P．⑴求实数m的取值范围（用a表示）；⑵O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0a21时，试求ΔOAP的面积的最大值（用a表示）．⑴【解】由)(2,12222mxyyax消去y得，x2+2a2x+2a2m-a2=0．①设f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2，问题⑴转化为方程①在x∈(-a，a)上有唯一解或等根．只须讨论以下三种情况：1Δ=0得m=212a．此时xp=-a2，当且仅当-a-a2a，即0a1时适合；2f(a)·f(-a)0当且仅当–ama；3f(-a)=0得m=a．此时xp=a-2a2，当且仅当-aa-2a2a，即0a1时适合．f(a)=0得m=-a，此时xp=-a-2a2，由于-a-2a2-a，从而m≠-a．综上可知，当0a1时，m=212a或-am≤a；当a≥1时，-ama.……………………………………………………10分⑵【解】ΔOAP的面积S=21ayp．∵0a21，故-am≤a时，amaaa21022，由唯一性得xp=maaa2122．显然当m=a时，xp取值最小．由于xp0，从而221axypp取值最大，此时yp=22aa，∴S=a2aa．当m=212a时，xp=-a2，yp=21a，此时S=21a21a．下面比较a2aa与21a21a的大小：令a2aa=21a21a，得a=31.故当0a≤31时,2121)1(aaaaa．此时Smax=2121aa．当31a21时，2121)1(aaaaa．此时Smax=a2aa．……………20分15．用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6(a1a2a3a4a5a6)的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．【解】设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为RFG．当Ri=ai，i=3，4，5，6，R1，R2是a1，a2的任意排列时，RFG最小．…………………………………………5分证明如下1°设当两个电阻R1，R2并联时，所得组件阻值为R：则21111RRR．故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1R2．2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB：2132312132121RRRRRRRRRRRRRRAB．显然R1+R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个．3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD：43243142142324131214111RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRABCD．图1BAR1R3R2图2DCR3R4R1R2若记411jijiRRS，412kjikjiRRRS．则S1、S2为定值．于是4313212RRSRRRSRCD．只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4R3，R3R2，R3R1，即得总电阻的阻值最小．……………………………………………………………………15分4°对于图3，把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6R5；且由1°，应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5R4，且应使RCD最小．而由3°，要使RCD最小，应使R4R3R2且R4R3R1．这就说明，要证结论成立………………………………………………………20分EG图3R1AR2R4R6R3R5BCDFGE