2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题湖南高中数学练习试题

12013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于_______A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的______A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=___D____A.9B.10C.12D.134.已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则g（1）等于____A.4B.3C.2D.15.在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2sinB=3b，则角A等于______A.3B.4C.6D.126.函数f（x）=㏑x的图像与函数g（x）=x2-4x+4的图像的交点个数为______A.0B.1C.2D.37.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于______A．32B.1C.212D.28.已知a,b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____C____A.21B.2C.21D.229.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为.21，则ADAB=____A.12B.14C.32D.74二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}UAB,则()CAB_____11.在平面直角坐标系xOy中，若直线121,:xslys（s为参数）和直线2,:21xatlyt（t为参数）平行，则常数a的值为_____12.执行如图1所示的程序框图，如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为____9___213.若变量x,y满足约束条件28,04,03,xyxy则x+y的最大值为______14.设F1，F2是双曲线C，22221axyb(a0,b0)的两个焦点。若在C上存在一点P。使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为____13_______.15.对于E={a1，a2,….a100}的子集X={a1，a2,…,an},定义X的“特征数列”为x1,x2…,x100,其中x1=x10=…xn=1.其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，0，0，…,0(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于___________;(2)若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…,P100满足P1+Pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1=1，q1+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为_________.三、解答题；本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）已知函数f(x)=（1）求2()3f的值；（2）求使1()4fx成立的x的取值集合17.(本小题满分12分)如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在菱BB1上运动。（I）证明：AD⊥C1E；3（II）当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三菱子C1-A2B1E的体积。18.（本小题满分12分）某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。（Ⅰ）完成下表,并求所种作物的平均年收获量;(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.19.（本小题满分13分）设nS为数列{na}的前项和，已知01a，2nnSSaa11，nN（Ⅰ）求1a，2a，并求数列｛na｝的通项公式；(Ⅱ)求数列｛nna｝的前n项和。20.（本小题满分13分）已知1F，2F分别是椭圆15:22yxE的左、右焦点1F，2F关于直线02yx的对称点是圆C的一条直径的两个端点。（Ⅰ）求圆C的方程；(Ⅱ)设过点2F的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b。当ab最大时，求直线l的方程。421.（本小题满分13分）已知函数f（x）=xex21x1.（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）(x1≠x2)时，x1+x2＜0.参考答案一、选择题1．B2．A3．D4．B5．A6．C7．D8．C9．D10．}862{，，11．412．413．614．1315．（1）2（2）1716．解：(1)41)212cos232(sin21)3sinsin3cos(coscos)(xxxxxxf41)32(.414123sin21)32(41)62sin(21ffx所以。（2）由（1）知，)2,2()62(0)62sin(4141)62sin(21)(fkkxxxx.),12,127(.),12,127(ZkkkZkkkx所以不等式的解集是：17．解：(Ⅰ)11CCBBADE面为动点，所以需证因为.ADBBABCADABCBBCBAABC11111,面且面是直棱柱ADBCBCDABCRT的中点，为是等腰直角且又..1111111ECADCCBBECCCBBADBBBBC面且面由上两点，且(证毕)（Ⅱ）660,//111111AEECARTECAACCA中，在.5的高是三棱锥是直棱柱中，在1111111111.2CBAEEBCBAABCEBEBART..3232213131111111111111的体积为所以三棱锥EBACEBSVVCBACBAEEBAC18．解：(Ⅰ)由图知，三角形中共有15个格点,与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4)。与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0),(1,3),(2,2),(3,1)。与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0),(2,0),(3,0),(0，1,),(0，2),(0，3,)。与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1),(1,2),(2,1)。如下表所示：Y51484542频数2463平均年收获量4615342645448251u.（Ⅱ）在15株中，年收获量至少为48kg的作物共有2+4=6个.所以，15株中任选一个，它的年收获量至少为48k的概率P=4.0156.19．解：(Ⅰ)11111121.SSaanaS时，当.1,011aa11111111222221nnnnnnnnnaaaaSaaSaassan时，当-.*,221}{11Nnaqaannn的等比数列，公比为时首项为（Ⅱ）nnnnqanqaqaqaqTanaaaT321321321321设1432321nnanaaaqT上式左右错位相减：nnnnnnnnnaqqanaaaaaTq21211)1(111321*,12)1(NnnTnn。20．解：(Ⅰ)先求圆C关于直线x+y–2=0对称的圆D，由题知圆D的直径为关于）与圆心（圆心），半径（的圆心所以CDD0,0,2b-acr0,0D圆,FF2221直线02yx对称4)2()2(:)2,2(22yxCC的方程为圆.（Ⅱ）由(Ⅰ)知2F(2,0),,据题可设直线l方程为:x=my+2,m∈R.这时直线l可被圆和椭圆截得2条弦，符合题意.圆C:4)2()2(22yx到直线l的距离22m1|2m|m1|2-22m|=d。622222m14)m144(4mb：在圆中，由勾股定理得.整理得：联立直线和椭圆方程，设直线与椭圆相交于点),,(),,(2211yxFyxE5204544)(0145(22212122mmmmyymxxmyym）由椭圆的焦半径公式得：51525)(210)(5252222121mmxxxxa5158m14515222222mmmmab..),3[]3,0[)(0,51)(上单调递减上单调递增，在在令xfyxxxxf.23.3)3.()(2yxabmfxf这时直线方程为取最大值时，当令所以当23yxab取最大值，直线方程为21．解：(Ⅰ).)123)12)1()1)11()('222222xxxxexxexxexxfxxx（（（;)(,0)(']0-02422单调递增时，，（当xfyxfx单调递减）时，，当)(,0)('0[xfyxfx.所以，）上单调递减，上单调递增；在，在（0[]0-)(xxfy。（Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x0时f(x)f(-x)即可。]1)1[(11111)()(2222xexxeexxexxxfxfxxxx。1)21()('0,1)1()(22xxexxgxxexxg令。,04)21()('1)21()(222xxxxeexxhexxh令0)0()(0)(hxhxhy）上单调递减，在（0)0()(0)(gxgxgy）上单调递减，在（.000]1)1[(122yxxexxeyxx时）上单调递减，但，在（)()(0)()(xfxfxfxf7.0)()(212121xxxxxfxf时，且所以，当