2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题湖北卷高中数学练习试题

12013年湖北省理科数学高考试题WORD解析版一、选择题1、在复平面内，复数21izi（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析与答案】211izii，1zi。故选D【相关知识点】复数的运算2、已知全集为R，集合112xAx，2|680Bxxx，则RACB（）A.|0xxB.{24}xxC.|024xxx或D.|024xxx或【解析与答案】0,A，2,4B，0,24,RACB。故选C【相关知识点】不等式的求解，集合的运算3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A.pqB.pqC.pqD.pq【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”。故选A。【相关知识点】命题及逻辑连接词4、将函数3cossinyxxxR的图像向左平移0mm个长度单位后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是（）A.12B.6C.3D.56【解析与答案】2cos6yx的图像向左平移0mm个长度单位后变成2cos6yxm，所以m的最小值是6。故选B。【相关知识点】三角函数图象及其变换25、已知04，则双曲线22122:1cossinxyC与222222:1sinsintanyxC的（）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等【解析与答案】双曲线1C的离心率是11cose，双曲线2C的离心率是222sin1tan1sincose，故选D【相关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形6、已知点1,1A、1,2B、2,1C、3,4D，则向量AB在CD方向上的投影为（）A.322B.3152C.322D.3152【解析与答案】2,1AB，5,5CD，1532252ABCDCD，故选A。【相关知识点】向量的坐标运算，向量的投影7、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25731vttt（t的单位：s，v的单位：/ms）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m）是（）A.125ln5B.11825ln3C.425ln5D.450ln2【解析与答案】令257301vttt，则4t。汽车刹车的距离是402573425ln51tdtt，故选C。【相关知识点】定积分在实际问题中的应用8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V，2V，3V，4V，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A.1243VVVVB.1324VVVVC.2134VVVVD.2314VVVV3【解析与答案】C由柱体和台体的体积公式可知选C【相关知识点】三视图，简单几何体体积9、如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为EXA.126125B.65C.168125D.75第9题图【解析与答案】三面涂有油漆的有8块，两面涂有油漆的有36块，一面涂有油漆的有54块，没有涂有油漆的有27块，所以8365463211251251255EX。故选B。【相关知识点】古典概型，数学期望10、已知a为常数，函数()lnfxxxax有两个极值点1212,()xxxx，则（）A.121()0,()2fxfxB.121()0,()2fxfxC.121()0,()2fxfxD.121()0,()2fxfx4【解析与答案】令()12ln0fxaxx得021a，ln21(1,2)iixaxi。又102fa，121012xxa。222111111111()ln210fxxxaxxaxaxaxx，222222211()11122fxaxxxaxaxaa故选D。【相关知识点】函数导数与极值，函数的性质二、填空题（一）必考题11、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示。（I）直方图中x的值为；（II）在这些用户中，用电量落在区间100,250内的户数为。第11题图【解析与答案】0.0060.00360.002420.0012501x，0.0044x0.00360.0060.00445010070【相关知识点】频率分布直方图512、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i。【解析与答案】5程序框图运行过程如表所示：i12345a1051684【相关知识点】程序框图13、设,,xyzR，且满足：2221xyz，2314xyz，则xyz。【解析与答案】由柯西不等式知222222212323xyzxyz，结合已知条件得123xyz，从而解得1412314xyz，3147xyz。【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件）14、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为2111222nnnn。记第n个k边形数为,Nnk3k，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数211,322Nnnn正方形数2,4Nnn五边形数231,522Nnnn六边形数2,62Nnnn否1ii?4a10,1ai开始是结束a是奇数?31aa2aa是否输出i6……可以推测,Nnk的表达式，由此计算10,24N。【解析与答案】观察2n和n前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故2,241110Nnnn，10,241000N【相关知识点】归纳推理，等差数列（二）选考题15、如图，圆O上一点C在直线AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E。若3ABAD，则CEEO的值为。【解析与答案】由射影定理知2222812ADABADCECDADBDEOODOAADABAD【相关知识点】射影定理，圆幂定理16、在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为cossinxayb0ab为参数，。在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为2sin42mm为非零常数与b。若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为。【解析与答案】直线l的方程是xym，作出图形借助直线的斜率可得2cb，所以2222cac，63e【相关知识点】极坐标与直角坐标的转化，椭圆的几何性质，直线与圆三、解答题17、在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c。已知cos23cos1ABC。（I）求角A的大小；ODEBA第15题图C7（II）若ABC的面积53S，5b，求sinsinBC的值。【解析与答案】（I）由已知条件得：cos23cos1AA22cos3cos20AA，解得1cos2A，角60A（II）1sin532SbcA4c，由余弦定理得：221a，222228sinaRA25sinsin47bcBCR【相关知识点】二倍角公式，解三角函数方程，三角形面积，正余弦定理18、已知等比数列na满足：2310aa，123125aaa。（I）求数列na的通项公式；（II）是否存在正整数m，使得121111maaa？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由。【解析与答案】（I）由已知条件得：25a，又2110aq，13q或，所以数列na的通项或253nna（II）若1q，12111105maaa或，不存在这样的正整数m；若3q，12111919110310mmaaa，不存在这样的正整数m。【相关知识点】等比数列性质及其求和19、如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,AB的点，直线PC平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点。（I）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（II）设（I）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足12DQCP。记直线PQ与平面ABC所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为，二面角ElC的大小为，求证：sinsinsin。8【解析与答案】（I）EFAC，ACABC平面，EFABC平面EFABC平面又EFBEF平面EFllPAC平面（II）连接DF，用几何方法很快就可以得到求证。（这一题用几何方法较快，向量的方法很麻烦，特别是用向量不能方便的表示角的正弦。个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差。）第19题图9【相关知识点】1020、假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布2800,50N的随机变量。记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p。（I）求0p的值；（参考数据：若2,XN，有0.6826PX，220.9544PX，330.9974PX。）（II）某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆。公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆。若每天要以不小于0p的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？【解析与答案】（I）010.50.95440.97722p（II）设配备A型车x辆，B型车y辆，运营成本为z元，由已知条件得2136609007,xyxyyxxyN，而16002400zxy作出可行域，得到最优解5,12xy。所以配备A型车5辆，B型车12辆可使运营成本最小。11【相关知识点】正态分布，线性规划21、如图，已知椭圆1C与2C的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2nmn，过原点且不与x轴重合的直线l与1C，2C的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D。记mn，BDM和ABN的面积分别为1S和2S。（I）当直线l与y轴重合时，若12SS，求的值；（II）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得12SS？并说明理由。【解析与答案】（I）12SSmnmn，1111mnmn解得：21（舍去小于1的根）（II）设椭圆22122:1xyCamam，22222:1xyCan，直线l：kyx22221kyxxyam2222221amkyam222Aamyamk同理可得，222Banyank又BDM和ABN的的高相等12BDBAABABSBDyyyySAByyyy如果存在非零实数k使得12SS，则有