2014届高三理科数学一轮复习试题选编18空间的平行与垂直关系教师版高中数学练习试题

第1页，共13页2014届高三理科数学一轮复习试题选编18：空间的平行与垂直关系一、选择题1．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）平面∥平面的一个充分条件是（）A．存在一条直线aa，∥，∥B．存在一条直线aaa，，∥C．存在两条平行直线ababab，，，，∥，∥D．存在两条异面直线ababab，，，，∥，∥【答案】D2．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）设,mn是不同的直线，,是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若//,,mnmn，则B．若//,,mnmn，则//C．若//,,//mnmn，则⊥D．若//,,//mnmn，则//【答案】C解：C中，当//,//mmn，所以，//,n或,n当n，所以⊥，所以正确。3．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知,mn是两条不同直线,,,是三个不同平面,下列命题中正确的是（）A．,,若则‖B．,,mnmn若则‖C．,,mnmn若则‖‖‖D．,,mm若则‖‖‖【答案】B【解析】根据线面垂直的性质可知,B正确.4．（2013届北京大兴区一模理科）已知平面,，直线nm,，下列命题中不．正确的是（）A．若m，m，则∥B．若m∥n，m，则nC．若m∥，n，则m∥nD．若m，m，则．第2页，共13页【答案】C5．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面,给出下列命题:①若,//m,则;②若,mn,且,mn则;③若,m//m,则;④若//m,//n,且//mn,则//.其中正确命题的序号是（）A．①④B．②③C．②④D．①③【答案】B【解析】①当,//m时,不一定成立,所以错误.②成立.③成立.④//m,//n,且//mn,,也可能相交,所以错误.所以选B．二、填空题6．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））设m、n是不同的直线,、、是不同的平面,有以下四个命题:①若//,//,则//②若,//m,则m③若,//mm,则④若//,mnn,则//m其中所有真命题的序号是_____【答案】①③三、解答题7．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）如图,在四棱锥PABCD中,平面PAC平面ABCD,且PAAC,2PAAD.四边形ABCD满足BCAD,ABAD,1ABBC.点,EF分别为侧棱,PBPC上的点,且PEPFPBPC.(Ⅰ)求证:EF平面PAD;(Ⅱ)当12时,求异面直线BF与CD所成角的余弦值;(Ⅲ)是否存在实数,使得平面AFD平面PCD?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由.PDABCFE第3页，共13页【答案】证明:(Ⅰ)由已知,PEPFPBPC,所以EFBC.因为BCAD,所以EFAD.而EF平面PAD,AD平面PAD,所以EF平面PAD(Ⅱ)因为平面ABCD平面PAC,平面ABCD平面PACAC,且PAAC,所以PA平面ABCD.所以PAAB,PAAD.又因为ABAD,所以,,PAABAD两两垂直如图所示,建立空间直角坐标系,因为1ABBC,2PAAD,所以0,0,01,0,0,AB,1,1,0,0,2,0,0,0,2CDP.当12时,F为PC中点,所以11(,,1)22F,所以11(,,1),(1,1,0)22BFCD.设异面直线BF与CD所成的角为,所以11|(,,1)(1,1,0)|322cos|cos,|3111244BFCD,所以异面直线BF与CD所成角的余弦值为33(Ⅲ)设000(,,)Fxyz,则000(,,2),(1,1,2)PFxyzPC.由已知PFPC,所以000(,,2)(1,1,2)xyz,PDABCFExyxzx第4页，共13页所以000,,22.xyz所以(,,22)AF.设平面AFD的一个法向量为1111(,,)xyzn,因为0,2,0AD,所以110,0.AFADnn即1111(22)0,20.xyzy令1z,得1(22,0,)n.设平面PCD的一个法向量为2222(,,)xyzn,因为0,2,2,1,1,0PDCD,所以220,0.PDCDnn即2222220,0.yzxy令21x,则2(1,1,1)n.若平面AFD平面PCD,则120nn,所以(22)0,解得23.所以当23时,平面AFD平面PCD8．（2013北京西城高三二模数学理科）如图1,四棱锥ABCDP中,PD底面ABCD,面ABCD是直角梯形,M为侧棱PD上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示.(Ⅰ)证明:BC平面PBD;(Ⅱ)证明:AM∥平面PBC;(Ⅲ)线段CD上是否存在点N,使AM与BN所成角的余弦值为43?若存在,找到所有符合要求的点N,并求CN的长;若不存在,说明理由.【答案】【方法一】(Ⅰ)证明:由俯视图可得,222BDBCCD,所以BDBC第5页，共13页又因为PD平面ABCD,所以PDBC,所以BC平面PBD(Ⅱ)证明:取PC上一点Q,使:1:4PQPC,连结MQ,BQ由左视图知4:1:PDPM,所以MQ∥CD,14MQCD在△BCD中,易得60CDB,所以30ADB.又2BD,所以1AB,3AD.又因为AB∥CD,CDAB41,所以AB∥MQ,ABMQ.所以四边形ABQM为平行四边形,所以AM∥BQ因为AM平面PBC,BQ平面PBC,所以直线AM∥平面PBC(Ⅲ)解:线段CD上存在点N,使AM与BN所成角的余弦值为43.证明如下:因为PD平面ABCD,DCDA,建立如图所示的空间直角坐标系xyzD.所以)3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(MCBAD.设)0,,0(tN,其中40t所以)3,0,3(AM,)0,1,3(tBN.要使AM与BN所成角的余弦值为43,则有||34||||AMBNAMBN,所以43)1(332|3|2t,解得0t或2,均适合40t故点N位于D点处,此时4CN;或CD中点处,此时2CN,有AM与BN所成角的余弦值为43【方法二】(Ⅰ)证明:因为PD平面ABCD,DCDA,建立如图所示的空间直角坐标系xyzD.第6页，共13页在△BCD中,易得60CDB,所以30ADB,因为2BD,所以1AB,3AD.由俯视图和左视图可得:)4,0,0(),3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(PMCBAD.所以)0,3,3(BC,)0,1,3(DB.因为0001333DBBC,所以BDBC又因为PD平面ABCD,所以PDBC,所以BC平面PBD(Ⅱ)证明:设平面PBC的法向量为=()x,y,zn,则有0,0.PCBCnn因为)0,3,3(BC,)4,4,0(PC,所以440,330.yzxy取1y,得n)1,1,3(因为)3,0,3(AM,所以AMn03101)3(3因为AM平面PBC,所以直线AM∥平面PBC(Ⅲ)解:线段CD上存在点N,使AM与BN所成角的余弦值为43.证明如下:设)0,,0(tN,其中40t所以)3,0,3(AM,)0,1,3(tBN.要使AM与BN所成角的余弦值为43,则有43||||||BNAMBNAM,所以43)1(332|3|2t,解得0t或2,均适合40t故点N位于D点处,此时4CN;或CD中点处,此时2CN,第7页，共13页OFEDCBAGABCDEFO有AM与BN所成角的余弦值为439．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题）（本小题满分14分）在四棱锥EABCD-中，底面ABCD是正方形，,ACBDO与交于点ECABCDF底面，^为BE的中点.（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BDAE^；（Ⅲ）若2,ABCE=在线段EO上是否存在点G，使CGBDE平面^？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．【答案】解：（I）连接OF.由ABCD是正方形可知,点O为BD中点.又F为BE的中点，所以OF∥DE………………….2分又,,OFACFDEACF平面平面趟所以DE∥平面ACF………….4分(II)证明：由ECABCDBDABCD底面，底面，^?所以,ECBD^由ABCD是正方形可知,,ACBD^又=,,ACECCACECACE平面，翘所以,BDACE平面^………………………………..8分又AEACE平面，Ì所以BDAE^…………………………………………..9分(III)解法一：在线段EO上存在点G，使CGBDE平面^.理由如下：如图，取EO中点G，连接CG.在四棱锥EABCD-中，22,2ABCECOABCE===，所以CGEO^.…………………………………………………………………..11分由（II）可知，,BDACE平面^而,BDBDE平面Ì所以，,ACEBDEACEBDEEO平面平面且平面平面，^?第8页，共13页zyxOFEDCBAG因为,CGEOCGACE平面，^?所以CGBDE平面^………………………………………………………….13分故在线段EO上存在点G，使CGBDE平面^.由G为EO中点，得1.2EGEO=……………………………………………14分解法二：由ECABCD底面，^且底面ABCD是正方形，如图，建立空间直角坐标系,CDBE-由已知2,ABCE=设(0)CEaa=，(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,),CDaBaEa则2222(,,0),(2,2,0),(0,2,),(,,).2222OaaBDaaBEaaEOaaauuuruuruuur=-=-=-设G为线段EO上一点，且(01)EGEO=，则22(,,),22EGEOaaauuuruuur==-22(,,(1)),22CGCEEOaaauuuruuruuur=+=-…………………………..12分由题意，若线段EO上存在点G，使CGBDE平面^，则CGBD^uuuruuur，CGBE^uuuruur.所以，221(1)0,0,12aa解得，（）-+-==?，故在线段EO上存在点G，使CGBDE平面^，且1.2EGEO=……………………14分10．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（Ⅰ）求此几何体的体积V的大小;（Ⅱ）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；第9页，共13页（Ⅲ）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得AQBQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由.【答案】解：（1）由该几何体的三视图知AC面BCED,且EC=BC=AC=4，BD=1，∴1(41)4102BCEDS梯形∴1140104333BCEDVSAC梯形．即该几何体的体积V为1140104333BCEDVSAC梯形．----------------------------------4分（2）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线