2014届高三理科数学一轮复习试题选编19空间角与空间距离学生版高中数学练习试题

第1页，共41页2014届高三理科数学一轮复习试题选编19：空间角与空间距离一、选择题1．（2009高考(北京理)）若正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为1,1AB与底面ABCD成60°角,则11AC到底面ABCD的距离为（）A．33B．1C．2D．32．（2013届北京西城区一模理科）如图，正方体1111ABCDABCD中，P为底面ABCD上的动点，1PEAC于E，且PAPE，则点P的轨迹是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分二、解答题3．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，在菱形ABCD中，60DAB，E是AB的中点，MA⊥平面ABCD，且在矩形ADNM中，2AD，377AM．（Ⅰ）求证：AC⊥BN；（Ⅱ）求证：AN//平面MEC；（Ⅲ）求二面角MECD的大小.4．（2013届北京丰台区一模理科）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM∥平面BCN;（Ⅱ）求AN与平面MNC所成角的正弦值；ABCDENMNCDABME第2页，共41页（Ⅲ）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求MEMN的值..5．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题）如图,在三棱锥ABCS中,侧面SAC与底面ABC垂直,,EO分别是ACSC,的中点,2SCSA,ACBC21,90ACBASC.OEACBSF(1)求证:OE//平面SAB;(2)若点F在线段BC上,问:无论F在BC的何处,是否都有SFOE?请证明你的结论;(3)求二面角CASB的平面角的余弦值.6．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学理试题）如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，3BC，90ABC°,平面PAB平面ABC，D、E分别为AB、AC中点.（Ⅰ）求证：DE‖平面PBC;（Ⅱ）求证：ABPE；（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小.EDABCP第3页，共41页7．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）如图,ABCD是正方形,DE平面ABCD,DEAF//,3DEDAAF.(Ⅰ)求证:ACBE;(Ⅱ)求二面角DBEF的余弦值;(Ⅲ)设点M是线段BD上一个动点,试确定点M的位置,使得//AM平面BEF,证明你的结论.FEDCBA8．（2013届北京大兴区一模理科）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，ABCD是等边三角形，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B//平面ADC1；（Ⅱ）若AB=BB1=2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值．9．（2013届北京市延庆县一模数学理）如图，四棱锥ABCDP的底面ABCD为菱形，60ABC，侧面PAB是边长为2的正三角形，侧面PAB底面ABCD.PQABCDM第4页，共41页(Ⅰ)设AB的中点为Q，求证：PQ平面ABCD；（Ⅱ）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角CBDM的大小为60，求CPCM的值.10．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，四棱锥ABCDP中，底面ABCD为正方形，PDPA，PA平面PDC，E为棱PD的中点．（Ⅰ）求证：PB//平面EAC；（Ⅱ）求证：平面PAD平面ABCD；（Ⅲ）求二面角BACE的余弦值．11．（2013北京朝阳二模数学理科试题）如图,四边形ABCD是正方形,EA平面ABCD,EAPD,22ADPDEA,F,G,H分别为PB,EB,PC的中点.(Ⅰ)求证:FG平面PED;(Ⅱ)求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小;(Ⅲ)在线段PC上是否存在一点M,使直线FM与直线PA所成的角为60?若存在,求出线段PM的长;若不存在,请说明理由.ADBCPEFGH第5页，共41页12．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，22AB，CC1=4，M是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC⊥AM；（Ⅱ）若N是AB上一点，且1ANCMABCC，求证：CN//平面AB1M；（Ⅲ）若52CM，求二面角A-MB1-C的大小．13．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）（本小题满分14分）在长方体1111ABCDABCD中，1ABBC，12AA，E为1BB中点.（Ⅰ）证明：1ACDE；（Ⅱ）求DE与平面1ADE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AD上是否存在一点P，使得BP∥平面1ADE？若存在，求DP的长；若不存在，说明理由.D1C1B1A1EDCBA14．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）如图,在长方体1111DCBAABCD中,11ADAA,E为CD的中点,F为1AA的中点.ABCA1B1C1MN第6页，共41页A1B1ECBD1C1AD(I)求证:1AD平面EBA11;(II)求证://DF平面EAB1;(III)若二面角11AEBA的大小为45,求AB的长.FED1A1C1B1DACB15．（2013届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB//CD，BCAB2，60ABC，ACFB．（Ⅰ）求证：AC平面FBC；（Ⅱ）求BC与平面EAC所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC平面QBC？证明你的结论．16．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题）在长方体1111ABCD-ABCD中，12AA=AD=，点E在棱CD上，且13CE=CD．（Ⅰ）求证：1AD平面11ABD；（Ⅱ）在棱1AA上是否存在点P，使DP∥平面1BAE？第7页，共41页若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若二面角11A-BE-A的余弦值为306，求棱AB的长．17．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）如图1,在直角梯形ABCD中,90ABCDAB,30CAB,2BC,4AD.把DAC沿对角线AC折起到PAC的位置,如图2所示,使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上,连接PB,点,EF分别为线段,PAAB的中点.(I)求证:平面//EFH平面PBC;(II)求直线HE与平面PHB所成角的正弦值;(III)在棱PA上是否存在一点M,使得M到点,,,PHAF四点的距离相等?请说明理由.18．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）(本小题满分13分)已知:如图,在四棱锥ABCDP中,四边形ABCD为正方形,ABCDPA面,且2ABPA,E为PD中点.(Ⅰ)证明:PB//平面AEC;(Ⅱ)证明:平面PCD平面PAD;CDBA图1HECPBAF图2第8页，共41页(Ⅲ)求二面角DACE的正弦值PDBACE19．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题）如图，在直三棱柱111ABCABC中，90BAC，12,ABACAAE是BC中点.（I）求证：1//AB平面1AEC；（II）若棱1AA上存在一点M，满足11BMCE，求AM的长；（Ⅲ）求平面1AEC与平面11ABBA所成锐二面角的余弦值.EC1B1A1CBA20．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））已知正三角形ACE与平行四边形ABCD所在的平第9页，共41页面互相垂直.又90ACD,且2,2CDAC,点,OF分别为,ACAD的中点.(I)求证:CFDE(Ⅱ)求二面角ODEC值.FOECDBA21．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）如图(1),等腰直角三角形ABC的底边AB=4,点D在线段AC上,DEAB于E,现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如图(2)).(Ⅰ)求证:PBDE;(Ⅱ)若PEBE,直线PD与平面PBC所成的角为30°,求PE长.PEBEDBACCD图(1)图(2)22．（2013北京东城高三二模数学理科）如图,△BCD是等边三角形,ABAD,90BAD,将△BCD沿BD折叠到△'BCD的位置,使得'ADCB.(Ⅰ)求证:'ADAC;(Ⅱ)若M,N分别是BD,CB的中点,求二面角NAMB的余弦值.第10页，共41页ABCDABCDMN23．（2011年高考（北京理））如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,60BAD(Ⅰ)求证:BDPAC平面(Ⅱ)若PAAB,求PN与AC所成角的余弦值;(Ⅲ)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.24．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）如图所示,在棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,2,4PAADDCAB且AB//CD,90BAD,(Ⅰ)求证:PCBC(Ⅱ)求PB与平面PAC所成角的正弦值.25．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的正方ABCDP第11页，共41页形,侧面PAD底面ABCD,且22PAPDAD,E、F分别为PC、BD的中点.(Ⅰ)求证:EF//平面PAD;(Ⅱ)求证:面PAB平面PDC;(Ⅲ)在线段AB上是否存在点,G使得二面角CPDG的余弦值为13?说明理由.PFEDCBA26．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）如图1，在RtABC中，90C，36BCAC，．D、E分别是ACAB、上的点，且//DEBC，将ADE沿DE折起到1ADE的位置，使1ADCD，如图2．（Ⅰ）求证：BC平面1ADC；（Ⅱ）若2CD，求BE与平面1ABC所成角的正弦值；（Ⅲ）当D点在何处时，1AB的长度最小，并求出最小值．27．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）如图所示，正方形DDAA11与矩形ABCD所在平面互相垂直，22ADAB,点E为AB的中点。ABCDE图1图2A1BCDED1EBDCAA1第12页，共41页（Ⅰ）求证：DEABD11//平面(Ⅱ)求证：DAED11（Ⅲ）在线段AB上是否存在点M，使二面角DMCD1的大小为6？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。28．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90o,PD⊥平面ABCD,AD=1,AB=3,BC=4.(I)求证:BD⊥PC;(II)求直线AB与平面PDC所成的角;(Ⅲ)设点E在棱PC上,PEPC,若DE∥平面PAB,求的值.第13页，共41页北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编19：空间角与空间距离参考答案一、选择题1.【答案】D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.(第4题解答图)属于基础知识、基本运算的考查.依题意,160BAB,如图,11tan603BB,故选D.2.A二、解答题3.解：（Ⅰ）连结BD，则ACBD.由已知DN平面ABCD，因为DNDBD，所以AC平面NDB.……………………2分又因为BN平面NDB，所以ACBN.……………………4分（Ⅱ）CM与BN交于F，连结EF.由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点.因为E是AB的中点，所以//ANEF.…………………………7分又EF平面MEC，AN平面MEC，所以//AN平面MEC.……………………………………………………………9分（Ⅲ）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DEAB.如图建立空间直角坐标系Dxyz，则(0,0,0)D，(3,0,0)E,(0,2,0)C，37(3,1,)7M.(3,2.0)CE，37(0,1,)7E