2015北京高考数学理科解析历年数学高考试题

海量资源尽在星星文库：版参与人员：陈玉兵王海军韦家鼎刘迎春沈少林高原马文超石运红何军凤闫泓水从2015年北京高考数学理科试卷来看，命题依旧考察学生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理、分析问题和解决问题的能力．从试卷整体来看，难度有所下降，在考察能力的同时，更注重基础知识的和方法的考察．从试题来看，小题部分对函数的直接考察力度加大，其中第七题、第八题、第十四题均为函数问题；小题部分有所调整，今年取消了几何证明选讲部分的考察，增加了二项式定理部分的题目．整体来看，小题部分难度有所下降．解答题部分15题三角函数、16题概率、17题立体几何这三个题目没有太大改变，题目比较常规，18题导数部分加强了导数运算的能力，19题圆锥曲线通过三角形相似构建坐标关系，较去年难度有所下降；第20题依然考察学生思维能力，注重数学模型和数学语言的表达．从2015高考试题来看，北京高考依然以第8题，14题和20题三个题目为难点考察学生综合分析和综合运用的能力，起到高考选拔的作用．海量资源尽在星星文库：年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．1．复数2ii（）．A．12iB．12iC．12iD．12i【解析】22212iiiii，选A2．若x，y满足010xyxyx，则2zxy的最大值为（）．A．0B．1C．32D．2【解析】如图，当01xy，max2z，选B3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）．海量资源尽在星星文库：．(2,2)B．(4,0)C．(4,4)D．(0,8)【解析】020212222240403stxykstxykstxyk结束，输出(4,0),选择B4．设，是两个不同的平面，m是直线且αm，“//m”是“//”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】//m不能推出//，而//，//m，“//m”是“//”的必要不充分条件，答案为B5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）．A．25B．45C．225D．5【解析】由三视图知，PA面ABC，12222ABCS，5ABAC,155122PABPCASS,6PCPB,12552PBCS,225S，答案为C海量资源尽在星星文库：．设na是等差数列，下列结论中正确的是（）．A．若120aa，则230aaB．若130aa，则120aaC．若120aa，则213aaaD．若10a，则2123(-)(-)0aaaa【解析】210aa，0d，所以30a，132132aaaaa，故答案为C7．如图，函数()fx的图像为折线ACB，则不等式2()1fxx≥log的解集是（）．A．|10xxB．|11xxC．|11xxD．|12xx【解析】由题可知：22-10()202xxfxxx，当1,0x时，2log(1)022xx．0,2x时，()fx单调递减，2()log(1)gxx单调递增，2log(1)2xx1x当01x时，2log(1)2xx，2()log(1)fxx的解集为1,1，答案选择C8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）．海量资源尽在星星文库：．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【解析】由图可知，对乙车存在一个速度，使燃油效率高于5，A错；由图知，当以40/kmh的速度行驶时，甲车燃油效率最高，行驶相同路程时，耗油最少，B错；甲车以80/kmh行驶1小时耗油8升，故C错在限速80/kmh，相同情况下，丙车燃油效率较乙车高，所以乙车更省油，所以选D第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在52x的展开式中，3x的系数为__________．（用数字作答）【解析】rrrrxCT5512，当3r时，系数为4024542235C．10．已知双曲线1222yax)0(a的一条渐近线为03yx，则a__________．【解析】令00222yaxyax，所以3331aa．11．在极坐标中，点)3,2(在直线6)sin3(cos的距离为__________．【解析】直线方程为36360xyxy，点为)3,1(，所以点到直线方程的距离为12231631d．12．在ABC△中，4a，5b，6c，则CAsin2sin__________．【解析】222sin22sincos24253616901sinsin263090AAAabcaCCcbc．13．在ABC△中，点NM,满足.,2NCBCMCAM若,ACyABxMN则x__________；y__________．【解析】CNMCMN=31AC21CB=31AC+21)(ACAB=21AB61AC，所以61,21yx海量资源尽在星星文库：．设函数2,1()4()(2),1xaxfxxaxax≥．①若1a，则)(xf的最小值为；②若)(xf恰有2个零点，则实数a的取值范围是．【解析】①当1a时，1),2)(1(41,12)(xxxxxfx，1x时，1()1fx，1x时，min311()()4()1222fxf，所以1)(minxf；②（I）当0a时，)(xf没有两个零点，（Ⅱ）当10a时，1x时，220log0xaax，()fx有一个零点；1x时，axaxxf2,0)(21；当12a，即21a时，)(xf恰有两个零点，所以当121a时，)(xf恰有两个零点；（Ⅲ）当21a时，1x时，220log1xaax，()fx有一个零点；1x时，1()0fxxa，22xa，()fx有两个零点，此时)(xf有三个零点；（Ⅳ）当2a时，1x时，无零点；1x≥时，有两个零点，此时)(xf有两个零点．综上所述,21,21a．海量资源尽在星星文库：三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数2—2.222()xxxsincossinfx（Ⅰ）求(x)f的最小正周期；（Ⅱ）求(x)f在区间[,0]上的最小值．解：（Ⅰ）22()sin(1cos)22fxxx222sincos222xx2sin()42x周期221T．（Ⅱ）0x3444x21sin()42x21()02fx最小值为212．16．（本小题满分13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10111213141516，，，，，，B组：121315161714a，，，，，，假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果25a，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）解：（Ⅰ）记甲康复时间不小于14天为事件A．则3()7PA答：甲康复时间不小于14天的概率为37．（Ⅱ）记甲的康复时间比乙的康复时间长为事件B．基本事件空间如下表海量资源尽在星星文库：()7749PB．（Ⅲ）11a或18a由于A组为公差为1的等差数列，所以当11a或18a时B组也为公差为1的等差数列，所以方差一定相等，而方差相等的方程是关于a的一个一元二次方程，故最多有两个解，所以只有11a或18a两个值．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF△为等边三角形，平面AEF平面EFCB，//EFBC，4BC，2EFa，060EBCFCB，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AOBE；（Ⅱ）求二面角FAEB的余弦值；（Ⅲ)若BE平面AOC，求a的值．解：（Ⅰ）证明：AEF为等边三角形，O为EF中点，AOEF⊥又平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF平面EFCBEF，AO⊥平面EFCB，海量资源尽在星星文库：⊥，（Ⅱ）以O为原点建立如图坐标系,0,0Ea，,0,0Fa，0,0,3Aa，2,32,0Ba,0,3EAaa，2,32,0EBaa平面AEF的法向量0,1,0m；设平面AEB的法向量,,nxyz，则030300nEAxzxynEB取3,1,1n15cos,515mnmnmn又二面角FAEB为钝角，二面角FAEB的余弦值为55．（Ⅲ）BE⊥平面AOC，BEOC⊥，2,32,0OCa，2232320BEOCaaa，解得2a（舍）或43a18．（本小题满分13分）已知函数1ln1xfxx．（Ⅰ）求曲线(x)yf在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0,1)x时,2(x)2(x)3xf＋；（Ⅲ）设实数k使得3x(x)k(x)3f＋对(0,1)x恒成立，求k的最大值解：（Ⅰ)(x)ln(1x)ln(1x)f11(x)11fxx1111xx海量资源尽在星星文库：所以(0)2f又()0fx所以，切线方程为02(x0)y即2yx（Ⅱ）3322(x)f(x)2xln(1)ln(1x)2x33Fxxx211(x)2211Fxxx222(1)(1)(1x)xx22222(1)(1)1xxx4221xx又因为01x，所以(x)0F所以(x)F在(0,1)上是增函数又(0)0F，故(x)(0)FF所以3x(x)k(x)3f＋（Ⅲ）31ln(x),x(0,1)13xxkx设21(x)ln(x)0,(0,1)13xxtkxx422222(x)(1),(0,1),11kxktkxxxx[0,2]k，(x)0t，函数(x)t是单调递增，(x)t(0)t显然成立当2k时，令(x)0t()0tx，得402(0,1)kxkx0(0,)x0x0(,1)x(x)t—0+(x)t极值0(x)t(0)0t，显然不成立，由此可知k最大值为2．19．（本小题满分14分