2015年北京西城高三二模数学理答案及解析

资料分享QQ群：141304635联系电话：82618899地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦1812电话：[phone]北京市西城区2015年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科）1.【解析】B{|1}Axx，{|3}Bxx，所以(1,3]AB，故选B.2.【解析】D由题可得(1,4)ab，且()abc∥，所以有412k，则8k.故选D.3.【解析】Dp命题1()xfxe在R上是增函数，故p命题为真；q命题()cos(π)cosfxxx为偶函数，故q命题为假，则q为真，从而()pq为真命题，故选D.4.【解析】A当1n，经过判断得到的3n，所以输出的1s；当2n，经过判断得到的9n，所以输出的2s，当3n，经过判断直接跳出，则3n，所以输出的1s.综上s满足的集合为{1,2}，故选A.5.【解析】B设平均费用为y，则2464644246432xyxxx，当且仅当644xx，即4x取到，故选B.6.【解析】B由于{}na等差数列，根据等差数列的性质24202201215()5()10aaaaaaa，所以1212aa，则12121()21212aaS，所以选B.7.【解析】A由于1x是2xax的必要不充分条件，所以2xax，即2xxa的解集是{|1}xx的子集，令()2xfxx，则()fx为增函数，那么()(1)3fxf，则3a此时满足2xxa条件的x一定是{|1}xx的子集.故选A.8.【解析】C对角线1AC动点P到底面ABCD上的Q点的最小值为点P在底面ABCD上的投影，即直线AC上，所以选择确定点Q，点1B沿着线1AC旋转，使得11ACCB在一个平面上，过1AB的中点M做AC的垂线，垂足为Q，MQ和1AC的交点为P，线段MQ的长度为我们求的最小值.由题意长方体1111ABCDABCD，12,1ABBCAA可得资料分享QQ群：141304635联系电话：82618899地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦1812电话：[phone]π6BACCAC，则1π3MAC，另外13AB，则32AM，所以33sin234MQ，故选C.9.【解析】13i10i10i(3i)10i(3i)13i3i(3i)(3i)1010.【解析】62，22yx由22184xy可得22,2,23abc，62cea，渐近线22byxxa11.【解析】35，725由题意可得34cos,sin55，所以229167cos2cossin252525.12.【解析】32，98由切割线定理22PAPBPCPBPA，所以32PA，3PC；再根据相交弦定理ADDEBDDC，由D是PC的中点，所以32DC，34BDPDPB，则339248ADDEBDDC.13.【解析】288先排除甲乙之外的其他人有44A，此时中间形成三个空隙，把甲安排到这3个位置上，有3种方法，由于甲乙不相邻，再把乙放到包括端点的其他4个位置，有4种方法,每一步之间属于分步，所以共有44A34288种.资料分享QQ群：141304635联系电话：82618899地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦1812电话：[phone]MDCBAPO14.【解析】①②①如图，当π=3AOP时，OP与AM相交于点M因为1AO，则3AM∴133322f①正确②由于对称性ππ22fxfx恰好是正方形的面积，所以ππ=422fxfx③显然fx是增函数，所以12120fxfxxx，③错故选①②注：第10，11，12题第一问2分，第二问3分；第14题多选、漏选或错选均不得分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分．15．（本小题满分13分）⑴解：在ABC△中，由正弦定理sinsinabAB，…………2分得73sinsinAB，即7sin3sinBA，…………3分又因为7sinsin23BA，解得3sin2A，…………5分因为ABC△为锐角三角形，所以π3A．……………6分⑵解：在ABC△中，由余弦定理222cos2bcaAbc，…………8分得219726cc，即2320cc，解得1c或2c，…………10分当1c时，因为2227cos0214acbBac，所以角B为钝角，不符合题意，舍去．…………11分当2c时，因为2227cos0214acbBac，且bc，ba．所以ABC△为锐角三角形，符合题意．所以ABC△的面积11333sin322222SbcA．…………13分资料分享QQ群：141304635联系电话：82618899地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦1812电话：[phone]．（本小题满分13分）⑴解：根据茎叶图．得甲组数据的平均数为101014182225273041432410，…1分乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510．………2分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数5m，…………3分乙型号电视机的“星级卖场”的个数5n，所以mn．…………4分⑵解：由题意，X的所有可能取值为0，1，2，…………5分且0255210CC2(0)C9PX，1155210CC5(1)C9PX，2055210CC2(2)C9PX，……8分所以X的颁布列为：X012P295929所以52()0121999EX．…………10分⑶解：当0b时，2s达到最小值．…………13分17．（本小题满分14分）⑴证明：因为DEBE，BEDC∥，所以DEDC，…………1分又因为1ADDC，1ADDED，所以DC平面1ADE，…………2分所以1DCAE⊥3分又因为1AEDE⊥，DCDED，所以1AE⊥平面BCDE4分⑵解：因为1AE⊥平面BCDE，DEBE⊥，所以1AEDEBE，，两两垂直，以1EBEDEA，，分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，5分易知23DE则1002200AB，，，，，，4230C，，，0230D，，，资料分享QQ群：141304635联系电话：82618899地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦1812电话：[phone]所以1202BA，，，2230BC，，平面1ABE的一个法向量为010n，，，6分设平面1ABC的法向量为mxyz，，，由100BAmBCm，，得2202230xzxy，，令1y，得313m，，．8分所以7cos7mnmnmn，．由图，得二面角1EABC的为钝二面角，所以二面角1EABC的余弦值为77．10分⑶结论，在线段EB上不存在一点P，使平面1ADP⊥平面1ABC．11分解：假设在线段EB上存在一点P，使平面1ADP⊥平面1ABC．设00Pt，，02t≤≤，则11020232APtAD，，，，，，12分设平面1ADP的法向量为111pxyz，，，由10ADp，10APp，得1111232020.yztxz，令12x，得所以23tpt，，．因为平面1ADP⊥平面1ABC，所以0mp，即23303tt，解得3t，因为02t≤≤，所以在线段EB上不存在点P，使得平面1ADP⊥平面1ABC．14分yDA1zxEBC资料分享QQ群：141304635联系电话：82618899地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦1812电话：[phone]．（本小题满分13分）【解析】⑴解：当14a时，函数21114xfxx，其定义域为|2xxR．1分求导，得2222221324011414144xxxfxxx，4分所以函数fx在区间2222，，，，，上单调递减．5分⑵证明：当0a时，211xfxax的定域为R．求导，得222211axaxfxax，6分令0fx，解得1211110111xxaa，，7分当x变化时，fx与fx的变化情况如下表：x1x，1x12xx，2x2x，fx00fx↗↘↗10分所以函数fx在12xx，，，上单调递增，在12xx，上单调递减．又因为10f，当1x时，2101xfxax；当1x时，2101xfxax，所以当1x≤时，10fxfx≤≤；当1x时，20fxfx≤．12分记12max()()Mfxfx，，其中12max()()fxfx，为两数1()fx，2()fx中最大的数．综上，当0a时，存在实数mM，，使得对任意的实数x，不等式()fxm≤恒成立．（13分）资料分享QQ群：141304635联系电话：82618899地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦1812电话：[phone]．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设22cab，由题意，得224ab，且63ca，（2分）解得3a，1b，2c．（4分）所以椭圆E的方程为2213xy．（5分）（Ⅱ）解：由题意，得224ab，所以椭圆E的方程为222214xyaa，则1(0)Fc，，2(0)Fc，，22224caba．设00()Pxy，，由题意，知0xc，则直线1FP的斜率100FPykxc，（6分）直线2FP的斜率200FPykxc，所以直线2FP的方程为00()yyxcxc，当0x时，00ycyxc，即点000ycQxc，，所以直线1FQ的斜率为00FQykcx，（8分）因为以PQ为直径的圆经过点1F，所以11PFFQ⊥．所以1100001FPFQyykkxccx，（10分）化简，得22200(24)yxa，①又因为P为椭圆E上一点，且在第一象限内，所以22002214xyaa，00x，00y，②由①②，解得202ax，20122ya，（12分）所以22222001(2)22OPxya，（13分）因为22242aba，所以22a，所以2OP．（14分）资料分享QQ群：141304635联系电话：82618899地址：北京市海淀区中关村大街32号和盛大厦1812电话：[phone]．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：1()1TP，2()2TP，3()2TP，4()3TP，5()4TP．（3分）（Ⅱ）解：由题意，1()1TP，2()3TP，3()5TP，4()7TP，…因为2()3TP，且()minknTPnak≥，所以32a≥，且22a．（4分）同理，由3()5TP，且()minknTPnak≥，得53a≥，且43a．以此类推，得74a≥，64a；…；2122,nnanan≥，…因为*1(N)iiaai≤，*Nia，所以121aa，34