2018届高三数学文科二轮复习专题检测临界知识问题

第1页共6页专题检测（二十二）临界知识问题一、选择题1．对2×2数表定义平方运算，规则是：abcd2＝abcdabcd＝a2＋bcab＋bdac＋cdbc＋d2，则－12302的值是()A.7－2－36B.－27－36C.1490D.－1230解析：选A－12302＝－1230－1230＝－12＋2×3－1×2＋2×0－1×3＋3×03×2＋02＝7－2－36.2．点P(－3,1)在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左准线上，过点P且方向为a＝(2，－5)的光线，经直线y＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为()A.33B.13C.22D.12解析：选A作出示意图，如图所示．由题意，kPA＝－52.∴lPA：5x＋2y＋13＝0，则交点A的坐标为－95，－2，据光的反射知识知kAF＝－kPA＝52.∴lAF：5x－2y＋5＝0.∴直线AF与x轴交点即左焦点F(－1,0)，即c＝1.又左准线x＝－a2c＝－a2＝－3，∴a＝3.∴e＝ca＝33.故选A.3．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝第2页共6页maxab，bc，ca·minab，bc，ca，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若△ABC为等边三角形时，即a＝b＝c，则maxab，bc，ca＝1＝minab，bc，ca，则l＝1；若△ABC为等腰三角形，如a＝2，b＝2，c＝3时，则maxab，bc，ca＝32，minab，bc，ca＝23，此时l＝1仍成立，但△ABC不为等边三角形，故“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件．4．对于定义域为R的函数f(x)，若f(x)在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，则称函数f(x)为“含界点函数”，则下列四个函数中，不是“含界点函数”的是()A．f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)B．f(x)＝2－|x－1|C．f(x)＝2x－x2D．f(x)＝x－sinx解析：选D对于A，因为f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)的零点即为方程x2＋bx－1＝0的根，所以Δ＝b2＋4＞0，且方程x2＋bx－1＝0有一正根一负根，故函数f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)是“含界点函数”；对于B，令f(x)＝2－|x－1|＝0，得x＝3或x＝－1，故f(x)＝2－|x－1|在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，即f(x)为“含界点函数”；对于C，作出y＝x2和y＝2x的图象(图略)，可知f(x)＝2x－x2在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，故f(x)＝2x－x2是“含界点函数”；对于D，因为f(x)＝x－sinx在R上是增函数，且f(0)＝0，故f(x)＝x－sinx不是“含界点函数”．5．定义方程f(x)＝f′(x)的实根x0叫做函数的“新驻点”，若函数g(x)＝x，h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为()A．αβγB．βαγC．βγαD．γαβ解析：选D依题中定义知：①∵g′(x)＝1，由g(x)＝g′(x)，得x＝1，∴α＝1.②∵h′(x)＝1x＋1，令f(x)＝ln(x＋1)－1x＋1，则f(x)在(－1，＋∞)上递增，且f(0)＝－1，f(1)＝ln2－120，∴0β1.第3页共6页③∵φ′(x)＝3x2，令F(x)＝x3－3x2－1，F(x)只有一个零点，且F(3)＝－10，F(4)＝43－3×16－1＝150，∴3γ4.∴βαγ，故选D.6．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是()A．440B．330C．220D．110解析：选A设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为nn＋12.由题意可知，N100，令nn＋12100，得n≥14，n∈N*，即N出现在第13组之后．易得第n组的所有项的和为1－2n1－2＝2n－1，前n组的所有项的和为21－2n1－2－n＝2n＋1－n－2.设满足条件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)组，且第N项为第k＋1组的第t(t∈N*)个数，若要使前N项和为2的整数幂，则第k＋1组的前t项的和2t－1应与－2－k互为相反数，即2t－1＝k＋2，∴2t＝k＋3，∴t＝log2(k＋3)，∴当t＝4，k＝13时，N＝13×13＋12＋4＝95100，不满足题意；当t＝5，k＝29时，N＝29×29＋12＋5＝440；当t5时，N440，故选A.二、填空题7．已知F1，F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，M是椭圆上与F1，F2不共线的任意一点，I是△MF1F2的内心，延长MI交F1F2于点N，则|MI||NI|＝________.解析：因为I是△MF1F2的内心，所以MN是∠F1MF2的角平分线，所以|MF1||MF2|＝|NF1||NF2|.第4页共6页所以|MF1|＋|MF2||MF2|＝|NF1|＋|NF2||NF2|，所以2a|MF2|＝2c|NF2|，所以|MF2||NF2|＝ac.又因为IF2为∠NF2M的角平分线，所以|MI||NI|＝|MF2||NF2|＝ac.答案：ac8．设集合A＝x|12017＜8x＜2017和B＝{x|log2(x2－[x])＝2}，其中符号[x]表示不大于x的最大整数，则A∩B＝________.解析：因为12017＜8x＜2017，[x]的值可取－3，－2，－1，0,1,2,3.当[x]＝－3，则x2＝1，无解；当[x]＝－2，则x2＝2，解得x＝－2；当[x]＝－1，则x2＝3，无解；当[x]＝0，则x2＝4，无解．当[x]＝1，则x2＝5，无解；当[x]＝2，则x2＝6，解得x＝6；当[x]＝3，则x2＝7，无解．综上A∩B＝{－2，6}．答案：{－2，6}9．对于函数f(x)，若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f(x)，x∈A}＝A，则称函数f(x)为“可等域函数”，区间A为函数f(x)的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①f(x)＝sinπ2x；②f(x)＝2x2－1；③f(x)＝|1－2x|；④f(x)＝log2(2x－2)．其中的“可等域函数”为________(填序号)．解析：根据题意，①中，[－1,0]与[0,1]及[－1,1]都是f(x)的“可等域区间”，满足；②中，f(x)＝2x2－1在[－1，1]的值域为[－1,1]，满足；③中，f(x)＝|1－2x|与y＝x的交点为(0,0)，(1,1)，其“可等域区间”为[0,1]，满足；④中，f(x)＝log2(2x－2)与y＝x无交点，不满足．故“可等域函数”为①②③.答案：①②③三、解答题10．若函数y＝sinx在(0，π)上是上凸函数，那么在△ABC中，求sinA＋sinB＋sinC的最大值．第5页共6页解：因为y＝sinx在(0，π)上是上凸函数，则13(sinA＋sinB＋sinC)≤sinA＋B＋C3＝sin60°＝32，即sinA＋sinB＋sinC≤332，当且仅当sinA＝sinB＝sinC时，即A＝B＝C＝π3时，取等号．11.如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC­A1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE＝2，AC＝AA1＝4，∠E＝60°，点B在线段ED上．(1)当点B在何处时，平面A1BC⊥平面A1ABB1；(2)点B在线段ED上运动的过程中，求三棱柱ABC­A1B1C1表面积的最小值．解：(1)由于三棱柱ABC­A1B1C1为直三棱柱，则AA1⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.而AA1∩AB＝A，只需BC⊥平面A1ABB1，即AB⊥BC，就有“平面A1BC⊥平面A1ABB1”．在平行四边形ACDE中，因为AE＝2，AC＝AA1＝4，∠E＝60°.过B作BH⊥AC于H，则BH＝3.若AB⊥BC，有BH2＝AH·CH.由AC＝4，得AH＝1或3.两种情况下，B为ED的中点或与点D重合．(2)三棱柱ABC­A1B1C1表面积等于侧面积与两个底面积之和．显然三棱柱ABC­A1B1C1其底面积和平面A1ACC1的面积为定值，只需保证侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和最小即可．过点B作BH⊥AC于H，则BH＝3.令AH＝x，则侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和等于4(AB＋BC)＝4[x2＋3＋3＋4－x2]．其中x2＋3＋3＋4－x2可以表示动点(x,0)到定点(0，－3)和(4，3)的距离之和，当且仅当x＝2时取得最小值．所以三棱柱的表面积的最小值为2×4×32＋42＋4×27＝43＋87＋16.12．已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.第6页共6页(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为12的两段圆弧，为什么？解：(1)当m＝0时，直线l的斜率为0；当m≠0时，直线l的斜率k＝mm2＋1＝1m＋1m.当m0时，m＋1m≥2，所以0k≤12；当m0时，m＋1m≤－2，所以－12≤k0.所以直线l的斜率的取值范围是－12，12.(2)法一：因为圆心C(4，－2)到直线l的距离d＝|4m＋2m2＋1－4m|m2＋m2＋12＝2m2＋1m4＋3m2＋1.若直线l能将圆C分割成弧长的比值为12的两段圆弧，则劣弧对的圆心角为120°.所以d＝r2＝1，即2(m2＋1)＝m4＋3m2＋1，化简得3m4＋5m2＋3＝0.而此方程无实数解，所以直线l不能将圆C分割成弧长的比值为12的两段圆弧．法二：因为直线l的方程可化为：(m－4)x－(m2＋1)y＝0，所以直线l恒过点(4,0)．此点正好是圆C与x轴的切点，由几何知识可得要使直线l能将圆C分割成弧长的比值为12的两段圆弧，则直线l的倾斜角为60°或120°，所以直线l的斜率为±3，这与k∈－12，12矛盾，所以，直线l不能将圆C分割成弧长的比值为12的两段圆弧．