七宝中学2013届高三下学期摸底考试数学试卷

上海市七宝中学2012学年高三（下）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共56分）1．（4分）已知集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜2x＜2}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（0，1）．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：不等式的解法及应用．分析：解指数不等式求得集合B，再根据A∩B≠∅，求得实数a的取值范围．解答：解：∵集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜2x＜2}={x|0＜x＜1}，若A∩B≠∅，则有0＜a＜1，故实数a的取值范围是（0，1），故答案为（0，1）．点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，集合间的包含关系，指数不等式的解法，属于基础题．2．（4分）函数的最小正周期为π．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用倍角公式和正弦函数的周期公式即可得出．解答：解：函数==﹣sin2x，∴．故答案为π．点评：熟练掌握倍角公式和正弦函数的周期公式是解题的关键．3．（4分）（2011•东城区一模）在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于=42．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由等差数列的通项公式化简a2+a3=13，得到关于首项和公差的关系式，把首项的值当然即可求出公差d的值，然后再利用等差数列的通项公式把所求的式子化为关于首项和公差的关系式，将首项和公差的值代入即可求出值．解答：解：由a2+a3=2a1+3d=13，又a1=2，得到3d=9，解得d=3，则a4+a5+a6=a1+3d+a1+4d+a1+5d=3a1+12d=6+36=42．故答案为：42点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．4．（4分）若tanα=﹣2，α是直线y=kx+b的倾斜角，则α=π﹣arctan2．（用α的反正切表示）考点：直线的倾斜角．专题：计算题．分析：直接根据斜率与倾斜角的关系得出答案．解答：解：∵α是直线y=kx+b的倾斜角tanα=﹣2又α∈（0，π），∴α=π﹣arctan2故答案为：π﹣arctan2．点评：此题考查了斜率与倾斜角的关系，属于基础题．5．（4分）（2011•南通一模）设（1+2i）z=3﹣4i（i为虚数单位），则|Z|=||．考点：复数求模．专题：计算题．分析：复数方程两边直接求模，即可得到复数z的模．解答：解：因为（1+2i）z=3﹣4i，所以|1+2i||z|=|3﹣4i|=5，即，所以|z|=故答案为：点评：本题是基础题，考查复数的模的求法，复数方程的灵活运应，考查计算能力．6．（4分）（2013•嘉定区二模）求值：=﹣1．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：由二项式定理可知=（1﹣2）2013可求解答：解：∵=（1﹣2）2013=﹣1故答案为：﹣1点评：本题主要考查了二项式定理的逆应用，解题的关键是熟练掌握基本公式7．（4分）已知平面向量，若，则=．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：先根据向量的数量积运算和条件求出两向量夹角的余弦值，得到两向量的线性关系，表示出向量的表达式，得到它们坐标之间的关系，代入所求的式子求值．解答：解：设，的夹角为θ，则=cosθ=﹣6，解得cosθ=﹣1，∴θ=180°，即，共线且反向，∴，即，∴，，代入=，故答案为：．点评：本题主要考查向量的数量积运算，向量的线性关系和向量的坐标运算，关键是判断出两个向量的线性关系．8．（4分）（2013•嘉定区二模）设a＞0，a≠1，行列式中第3行第2列的代数余子式记作y，函数y=f（x）的反函数图象经过点（2，1），则a=4．考点：三阶矩阵．专题：函数的性质及应用．分析：根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可．函数y=f（x）的反函数图象经过点（2，1），可知点点（1，2）在函数y=﹣ax+6的图象上，由此代入数值即可求得a．解答：解：由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32=﹣=﹣ax+6依题意，点（1，2）在函数y=﹣ax+6的图象上，将x=1，y=2，代入y=﹣ax+6中，得﹣a+6=2，解得a=4．故答案为：4．点评：此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．9．（4分）已知P是椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，则的最小值为．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义及基本不等式，可得（当且仅当|PF1|=|PF2|=a时，等号成立），再利用基本不等式，即可求的最小值．解答：解：由题意，|PF1|+|PF2|=2a，则∵∴（当且仅当|PF1|=|PF2|=a时，等号成立）∴≥≥（当且仅当|PF1|=|PF2|=a时，等号成立）∴的最小值为故答案为：点评：本题考查椭圆的定义，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．10．（4分）（2010•镇江一模）已知{an}是等差数列，设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|（n∈N*）．某学生设计了一个求Tn的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对Tn赋值，则空白处理框中应填入：Tn←n2﹣9n+40．考点：程序框图．专题：计算题．分析：首先对a1=8．a2=6，a3=4时，分别求前5项之和，和5项之后的和．通过等差数列求和公式，分别求出之后合并，即可解出Tn的值解答：解：当a1=8．a2=6，a3=4时an=﹣2n+10，sn==﹣n2+9n，s5=20当n≤5时，an≥0，当n＞5时，an＜0∴当n＞5时Tn=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|an|=a1+a2+…+a5﹣a6﹣…﹣an=a1+a2+…+a5﹣（a6+…+an）=S5﹣（Sn﹣S5）=n2﹣9n+40故答案为：n2﹣9n+40点评：本题考查程序框图，而实际考查等差数列求和公式的熟练运用．属于基础题．11．（4分）不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为[1，3]．考点：绝对值三角不等式．专题：计算题．分析：由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出siny的最大值，若不等式恒成立，则|a﹣2|≤1，解这个绝对值不等式，即可得到答案．解答：解：∵∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）∴||∈[2，+∞），其最小值为2又∵siny的最大值为1故不等式恒成立时，有|a﹣2|≤1解得a∈[1，3]故答案为[1，3]点评：本题考查的知识点是绝对值三角不等式的解法，其中根据对勾函数及三角函数的性质，将不等式恒成立转化为|a﹣2|≤1，是解答本题的关键．12．（4分）定义在R上的函数f（x）满足f（m+n2）=f（m）+2[f（n）]2，其中m，n∈R，且f（1）≠0．则f（2013）=4024[f（1）]2+f（1）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：由于f（m+n2）=f（m）+2[f（n）]2，则得到f（2013）=f（2012+12）=f（2012）+2[f（1）]2，以此类推得到2012个类此形式的式子，累加后即可得到f（2013）的值．解答：解：由题意知，f（2013）=f（2012+12）=f（2012）+2[f（1）]2，f（2012）=f（2011）+2[f（1）]2，f（2011）=f（2010）+2[f（1）]2，f（2010）=f（2009）+2[f（1）]2，…f（2）=f（1）+2[f（1）]2，故有f（2013）=f（1）+2[f（1）]2×2012=4024[f（1）]2+f（1）故答案为4024[f（1）]2+f（1）点评：本题考查求函数值的问题，属于基础题．13．（4分）设a∈R，若x＞0时均有（ax﹣1）（x2﹣2ax﹣1）≥0，则a=．考点：一元二次不等式的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：构造函数y1=ax﹣1，y2=x2﹣2ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1），确定a＞1，函数y2=x2﹣2ax﹣1过点M（，0），即可得到结论．解答：解：构造函数y1=ax﹣1，y2=x2﹣2ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1=ax﹣1，令y=0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2=x2﹣2ax﹣1，显然过点M（，0），代入得：=0，解之得：a=，或a=（舍去）．故答案为点评：本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是构造函数，利用函数的性质求解．在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．14．（4分）（理）设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的是①②③．①若ab＞c2；则C＜②若a+b＞2c；则C＜③若a3+b3=c3；则C＜④若（a+b）c＜2ab；则C＞．考点：命题的真假判断与应用．专解三角形．题：分析：①利用余弦定理结合均值不等式．②利用余弦定理，再结合均值定理即可证明．③利用反证法，假设C≥时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确．④取特殊值，在满足条件的情况下，判断角C的大小．解答：解：①因为a2+b2≥2ab，所以由余弦定理得，因为ab＞c2，所以﹣c2＞﹣ab，所以，即，所以①正确．②a+b＞2c，所以，．所以，即，所以②正确．③假设，则c2≥a2+b2，所以c3≥ca2+cb2＞a3+b3，与a3+b3=c3矛盾，所以假设不成立．即C＜成立．所以③正确．④取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得C为锐角，所以④错误．所以命题正确的是①②③．故答案为：①②③．点评：本题主要考查了解三角形的知识以及余弦定理的应用，以及不等式的证明，难度较大．15．（文）对于任意的平面向量，定义新运算⊕：．若为平面向量，k∈R，则下列运算性质一定成立的所有序号是①③．①=；②；③；④．考点：平面向量数量积的运算．专题：压轴题；新定义．分析：利用新定义和向量的线性运算即可判断出．解答：解：①⊕=（x1+x2，y1y2）=⊕，故正确；②∵⊕=（kx1+x2，ky1y2），⊕=（x1+kx2，y1ky2），∴⊕≠⊕，故不正确；③设，∵⊕⊕=⊕（x2+x3，y2y3）=（x1+x2+x3，y1y2y3），（⊕）⊕=（x1+x2，y1y2）⊕=（x1+x2+x3，y1y2y3），∴⊕（⊕）=（⊕）⊕，故正确；④设，∵⊕⊕=⊕（x2+x3，y2y3）=（x1+x2+x3，y1y2y3），⊕⊕=（x1+x2，y1y2）+（x1+x3，y1y3）=（2x1+x2+x3，y1（y2+y3）），∴⊕（⊕）≠⊕⊕，故不正确．综上可知：只有①③正确．故答案为①③．点评：熟练掌握新定义和向量的线性运算是解题的关键．二、选择题（每小题5分，共20分）16．（5分）已知ι，m是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，l⊥m，则m⊂αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥α，m∥α，则l⊥mD．若l⊥α，l⊥m，则m∥α考点：命题的真假判断与应用．分析：A．利用线面垂直的定义和性质．B．利用线面平行的性质和判断定理．C．利用线面垂直的性质．D．利用线面，线线垂直的性质．解答：解：A．当满足条件l⊥α，l⊥m的直线m不一定在平面α内，也有可能在平面α外，所以A错误．B．当满足条件l∥α，m⊂α时，直线l与直线m，没有任何确定的关系，所以l不一定平行m，也有可能是异面．所以B错误．C．当l⊥α，m∥α，根据线面平行的性质知，必有l⊥m，所以C正确．D．当直线m⊄α时，当满足条件l⊥α，l⊥m，结论正确，但当m⊂α时，结论不正确．故选C．点评：本题考查线面平行，线面垂直的性质和判断定理，正确掌握相关定理的内容，是解决问题的关键，要根据不同情况，进行讨论．17．（5分）已知圆x2+y2=2，直线l与圆O相切于第一象限，切点为C，并且与坐标轴相交于点A、B，则当线段AB最小时，则直线AB方