上海南汇中学2012学年度高一第二学期期末考试数学试题与答案

上海南汇中学2012学年第二学期期末考试高一数学一、填空题（每小题3分，共12题，共36分）1．若2013o，则与角具有相同终边的最小正角为213o2．一个扇形的半径是2cm，弧长是4cm，则圆心角的弧度数为23．已知cos3sin，则2sin12cos214．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第100个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6025．已知ABC的三边长成公比为2的等比数列，则ABC的最大内角的大小为____2arccos4___（用反三角函数表示）6．已知等比数列}{na为递增数列，且251021,2()5nnnaaaaa，251021,2()5nnnaaaaa，则数列}{na的通项公式na2n7．设数列}{na(n*N)是等差数列，若2a和2012a是方程03842xx的两根，则数列}{na的前2013项的和2013S___2013__8．已知ABC的三个内角,,ABC依次成等差数列，则tantan3tantan2222ACAC的值为___3_____9．给出问题：已知ABC满足coscosaAbB，试判定ABC的形状．某学生的解答如下：解：（i）由余弦定理可得，22222222bcaacbabbcac2222222abcabab222cab故ABC是直角三角形.（ii）设ABC外接圆半径为R.由正弦定理可得，原式等价于2sincos2sincosRAARBBsin2sin2ABAB故ABC是等腰三角形.由（i）（ii）得，ABC是等腰直角三角形.请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果：等腰或直角三角形10．已知函数sin()(0)3yx的最小正周期为，若将该函数的图像向左平移m(0)m个单…①②③位后，所得图像关于原点对称，则m的最小值为311．在共有2009项的等比数列na中，有等式135200910052462008aaaaaaaaa成立；类比上述性质，在共有2013项的等差数列nb中，相应的有等式13520132420121007()()bbbbbbbb成立12．对于函数)(xf，在使Mxf)(成立的所有常数M中，我们把M的最大值称为函数)(xf的“下确界”，则函数xxxxxfcsccscsinsin)(22的“下确界”为0二、选择题（每小题3分，共4题，共12分）13．设a、b、c是三个实数，则“acb2”是“,,abc依次成等比数列”的（B）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．下列命题中正确的是（D）A．函数xysin与xyarcsin互为反函数B．函数xysin与xyarcsin都是增函数C．函数xysin与xyarcsin都是周期函数D．函数xysin与xyarcsin都是奇函数15．设函数()|sin|cos2,,22fxxxx，则函数()fx的最小值是（B）A．1B．0C．12D．9816．数列}{na的通项公式cos2nnan，其前n项和为nS，则2013S等于（C）A．0B．503C．1006D．2012三、解答题（8+10+10+12+12=52分）17．三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．请你完成以下问题：（1）计算：cos2cos88cos5cos85_____;____;sin47sin133sin50sin130cos12cos78____sin57sin123（直接写答案，别忘记把计算器设置成“角度”！）（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论：．（用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程．）解：（1）2;2;2（3分）（2）猜想：cos()cos22.3sin()sin()44xxxx其中,4xkkz（5分）证明：33()(),sin()sin()4444xxxxQ，又cos()sin2xx，所左边=2sin()cossin42sin()sin()44xxxxx（8分）18．如图，某观测站C在城A的南偏西20方向上，从城A出发有一条公路，走向是南偏东40．在C处测得距离C为31千米的公路上的B处有一辆车正沿着公路向城A驶去．该车行驶了20千米后到达D处停下，此时测得C、D两处距离为21千米（1）求CDBcos的值；（2）此车在D处停下时距城A多少千米？解：（1）在CDB中，由余弦定理得71202123120212cos222222BDCDBCBDCDCDB（4分）(2)734cos1sin2CDBCDB；（5分）143560sincos60cossin)60sin(sinCDBCDBCDBACD；（7分）在ACD中，由正弦定理得：1523143521sinsinCADACDCDAD(9分)答：此车在D处停下时距城A处15千米。(10分)19．已知数列}{na的前n项和为22naSn（其中a为常数）（1）求证：数列}{na为等差数列；（2）试讨论数列}{na的单调性（递增数列或递减数列或常数列）解：（1）由已知，得211aSa，)2,(2)12(2*1nNnaannaSSannn又)2,(*1nNnaaann所以，数列}{na为公差为a的等差数列．…………………………………………5分（2）由)2,(*1nNnaaann得当0a时，数列}{na为递增数列；当0a时，数列}{na为常数列；当0a时，数列}{na为递减数列．…………………………………………10分20．已知函数2ππ()sinsin2cos662xfxxxxR，（其中0）（1）求函数()fx的最大值；（2）若函数()fx的最小正周期为，试确定的值，并求函数()yfxxR，的单调增区间；（3）在（2）的条件下，若不等式()2fxm在42x，上恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）2ππ()sinsin2cos662xfxxxxR，=23sinx+21cosx+23sinx-21cosx-(cosx+1)=2(23sinx-21cosx)-1=2sin(x-6)-1函数()fx的最大值为1————4分（2）()yfx的周期为，又由0，得2，即得2．于是有()sin()fxx2216，再由()kxkkZ222262，解得()kxkkZ63．所以()yfx的单调增区间为[]()kxkkZ63．—————8分（3）()2()2()2fxmfxmfx∵，ππ42x，，max()2mfx∴且min()2mfx，又ππ42x，∵，53662x，即-2≤2sin(2x-6)-1≤1∴-1＜m＜0，即m的取值范围是(-1,0)．————12分21．已知数列{}nb，若存在正整数T，对一切*nN都有nTnbb，则称数列{}nb为周期数列，T是它的一个周期．例如：数列a，a，a，a，…①可看作周期为1的数列；数列a，b，a，b，…②可看作周期为2的数列；数列a，b，c，a，b，c，…③可看作周期为3的数列；……（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是nanabn为正奇数为正偶数，试再写出该数列的一个通项公式；（2）求数列③的前n项和nS；（3）在数列③中，若12,,12abc，且它有一个形如sin()nbAnB的通项公式，其中A、B、、均为实数，0A，0，||2，求该数列的一个通项公式nb．解：（1）1[1(1)][1(1)]22nnnaba或|sin||cos|22nnnaab等．（3分）（2）当31nk时，1()3nnSabca；（5分）当32nk时，2()3nnSabcab；（6分）当33nk时，()3nnSabc（kN）．（7分）（3）由题意，0，应有23，得23，于是2sin()3nbAnB，把12b，212b，31b代入上式得2sin()2,(1)341sin(),(2)32sin(2)1,(3)ABABAB（10分）由(1)(2)可得3cos2A，再代入(1)的展开式，可得5sin24AB，与(3)联立得12B，3sin2A，于是tan3，因为||2，所以3，于是可求得3A．故213sin()332nnb（*nN）或写成213sin[(31)]332nnbk（kZ,*nN）．（12分）