人大附中高二年级第一学期期末数学理练习

高考帮——帮你实现大学梦想！1/19人大附中高二年级第一学期期末数学（理）练习&选修2-1模块考核试卷2016年1月14日命题人：吴中才候立伟审卷人：梁丽平说明：本试卷分I卷和II卷，I卷17道题，共100分，作为模块成绩；II卷4道题，共50分；I卷、II卷共21题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在密封线内填写个人信息。I卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1.集合1,Aa，1,2,3B，则“3a”是“AB”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若:pxR,20x，则()A.:,20xpxRB.:,20xpxRC.:,20xpxRD.:,20xpxR3.如图，在三棱锥OABC中，点D是棱AC的中点，若OAa，OBb，OCc，则BD等于（）高考帮——帮你实现大学梦想！2/19A.abcB.abcC.1122abcD.1122abc4.给定原命题：“若220ab，则ab、全为0”，那么下列命题形式正确的是（）A.逆命题：若ab、全为0，则220abB.否命题：若220ab，则ab、全不为0C.逆否命题：若ab、全不为0，则220abD.否定：若220ab，则ab、全不为05.已知双曲线222210,0xyabab的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程是（）A.30xyB.20xyC.20xyD.30xy高考帮——帮你实现大学梦想！3/196.已知点P是双曲线22145xy上一点，若12PFPF，则12PFF的面积为（）A.54B.52C.5D.107.已知AB是经过抛物线22ypx的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和14，则该抛物线的准线方程为（）A.1xB.1xC.12xD.12x8.在平面直角坐标系中，动点,Pxy到两条坐标轴的距离之和等于它到点1,1的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列命题中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线yx对称所有真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9.以yx为渐近线且经过点2,0的双曲线方程为______________.10.已知向量2,1,2a，4,2,bx，若//ab，则x_____________.11.设1F、2F是椭圆22143xy的两个焦点，P是椭圆上一点，若121PFPF，则1PF_______，2PF__________.高考帮——帮你实现大学梦想！4/1912.已知ABC的顶点1,0,0A,0,2,0B,0,0,1C,CD是AB边上的高，则点D的坐标为_________.13.已知命题:p方程210xmx有两个不相等的负根；命题q：方程244210xmx无实根.若pq为真，pq为假，则m的取值范围为__________.14.已知点0,2A，点0,2B，直线MAMB、的斜率之积为4，记点M的轨迹为C.（I）曲线C的方程为_________；（II）设,PQ为曲线C上的两点，满足OPOQ(O为原点)，则OPQ面积的最小值是_________三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本题满分12分）已知向量2,1,2a=，1,1,4b.（I）计算23ab和23ab；（II）求,ab高考帮——帮你实现大学梦想！5/1916.（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，90ACB，3AC，14BCCC.（I）求证：11ABCB;（II）求直线1CB与平面11ABBA所成的角的正弦值.ABCA1B1C117.（本题满分12分）高考帮——帮你实现大学梦想！6/19已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为1,0F，经过点F的直线l与抛物线C相交于AB、两点.（I）求抛物线C的标准方程；（II）若AOB的面积为4，求AB.II卷（共6道题，满分50分）一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18.已知点P为抛物线22yx上的一个动点，过点P作:A223=xy1的两条切线PMPN、，切点为MN、.（I）当PA最小时，点P的坐标为___________；（II）四边形PMAN的面积的最小值为________.19.在四面体ABCD中，若EFHIJK、、、、、分别是棱ABCD、、AD、BC、AC、BD的中点，则EFHIJK、、相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心.设0,0,2A，2,0,0B，0,3,0C，2,3,2D.（I）重心G的坐标为___________；（II）若BCD的重心为M，则AGGM____________.高考帮——帮你实现大学梦想！7/19二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20.（本题满分14分）已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为13,0F、23,0F，过点0,2P的直线l与椭圆C相交于AB、两点，且12AFF的周长为423.（I）求椭圆C的标准方程；（II）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程.高考帮——帮你实现大学梦想！8/1921.（本题满分16分）如图(1)，在ABC中，1ACBC，90ACB，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角BCDA是直二面角.（I）若D是AB边的中点，求二面角CABD的大小；（II）若2ADBD，求点B到平面ACD的距离；（III）是否存在一点D，使得二面角CABD是直二面角？若存在，求BDAD的值；若不存在，请说明理由.高考帮——帮你实现大学梦想！9/19ACBDBACD（1）（2）人大附中2015-2016学年度第一学期期末高二年级数学（理）练习&必修1-1模块考核试卷参考答案I卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）高考帮——帮你实现大学梦想！10/19题号12345678答案ACCADCDA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.22144xy10.411.52，3212.42,,05513.1,23,14.（I）22104yxx（II）1三、解答题（本大题共3小题，共38分）15.解:（I）2322,1,231,1,4ab223,213,22341,5,822223=1+58310ab（II）222222211124cos,212114ababab92==2332高考帮——帮你实现大学梦想！11/19又,ab0,，故,4ab16.解：（I）证明：如图所示，连接1BC，交1BC于点O.由题意可知：在直三棱柱111ABCABC中，1CC底面ABC而,ACBCABC平面故由线面垂直的性质定理可得：1CCAC，1CCBC又90ACB，即ACBC，1BCCCC111,BCCCCCBB平面故由线面垂直的判定定理可得：11ACCCBB平面而111BCCCBB平面故由线面垂直的性质定理可得：1ACBC又在正方形11CCBB中，11BCBC1ACBCC，11,ACBCABC平面于是有：11BCABC平面而11ABABC平面，故可得：11ABCB（II）以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，1CC所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.，高考帮——帮你实现大学梦想！12/19由题意易知：A点坐标为3,0,0，B点坐标为0,4,01A点坐标为3,0,4，1C点坐标为0,0,4故有：3,4,0AB，10,0,4AA，10,4,4CB设平面11ABBA的法向量000,,nxyz则有：0ABn，10AAn即00034040xyz取04x，可得：03y故平面11ABBA的法向量4,3,0n设直线1CB与平面11ABBA所成角为，则11123sin210542nCBnCB17.解：（I）依题意可设：抛物线C的标准方程为220ypxp由其焦点为1,0F易得：242pp故所求抛物线C的标准方程为24yx（II）①当直线l斜率不存在即与x轴垂直时，易知：4AB高考帮——帮你实现大学梦想！13/19此时AOB的面积为1114222AOBSOFAB不符合题意，故舍去.②当直线l斜率存在时，可设其为k0k，则此时直线l的方程为1ykx将其与抛物线C的方程：24yx联立化简整理可得：2222220kxkxk0k设AB、两点坐标分别为11,xy，22,xy由韦达定理可得：21222212222421kxxkkkxxk法1：由弦长公式可得：122244224ABxxpkk由点到直线的距离公式可得：坐标原点O到直线l的距离为21kdk故AOB的面积为22211411422211AOBkSABdkkkkk2222112141kkkkk2224116AOBkSk解得：33k高考帮——帮你实现大学梦想！14/19法2：1212121242AOBAOFBOFkpSSSOFyykxxxx而222121212224241616442411xxxxxxkkkkk故222421142AOBkkSkkk解得：33k，213k又24412416ABk因此，当AOB的面积为4时，所求弦AB的长为16.II卷（共6道题，满分50分）一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分）18.（I）2,2或2,2（II）219.（I）31,,12（II）3二、解答题（本大题共2小题，满分30分.）20.解：（I）依题意可设椭圆C的标准方程为222210xyabab由左右焦点坐标13,0F23,0F可知：3c高考帮——帮你实现大学梦想！15/19由12AFF的周长为423可得：22423ac于是得：2a又2220abcab故可得：1b所求椭圆C的方程为2214xy（II）由题意易知：直线l的斜率存在，可设其为k，故直线l的方程为20ykxk设原点O关于直线l的对称点'O的坐标为00,xy则线段'OO的中点D的坐标为00,22xy由题意可知：点D在直线l上，故有00222yxk①点O在椭圆C上，故有220014xy②线段'OO与直线l垂直，故有0'01OOykxk③由①③可得：02024141kxkyk将其代入②可得：5k高考帮——帮你实现大学梦想！16/19故所求直线l的方程为52yx或52yx21.解：（I）法一：在图（1）中，1ACBC，90ACB，2AB当D为AB边的中点时，1222ADBDCDAB且有CDAB在图（2）中取AB的中点M易知：在ABC中，1CACB，CMAB在ABD中，22