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第三章导数及其应用§3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课时目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.1.函数的变化率定义实例平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为________________,简记作:ΔyΔx.①平均速度;②曲线割线的斜率.瞬时变化率函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率在Δx→0时的极限,即_______________=0limxΔyΔx①瞬时速度:物体在某一时刻的速度;②切线斜率.2.导数的概念:一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是0limxΔyΔx=____________,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的,记为或即f′(x0)=0limxΔyΔx一、选择题1.当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A.在[x0,x1]上的平均变化率B.在x0处的变化率C.在x1处的变化率D.以上都不对2.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,f(1+Δx)),则ΔyΔx等于()A.4B.4+2ΔxC.4+2(Δx)2D.4x3.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是()A.1B.-1C.2D.-24.设f(x)在x=x0处可导,则0limxfx0-Δx-fx0Δx等于()A.-f′(x0)B.f′(-x0)C.f′(x0)D.2f′(x0)5.已知f(x)=-x2+10,则f(x)在x=32处的瞬时变化率是()A.3B.-3C.2D.-26.一物体的运动方程是s=12at2(a为常数),则该物体在t=t0时的瞬时速度是()A.at0B.-at0C.12at0D.2at0题号123456答案二、填空题7.已知函数y=f(x)=x2+1,在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为________.8.过曲线y=2x上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为________.9.已知物体运动的速度与时间之间的关系是:v(t)=t2+2t+2,则在时间间隔[1,1+Δt]内的平均加速度是________,在t=1时的瞬时加速度是________.三、解答题10.已知函数f(x)=x2-2x,分别计算函数在区间[-3,-1],[2,4]上的平均变化率.11.用导数的定义,求函数y=f(x)=1x在x=1处的导数.能力提升12.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则f1f′0的最小值为________.13.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动,如果它的加速度是a=5×105m/s2,枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10-3s.求枪弹射出枪口时的瞬时速度.1.做直线运动的物体,它的运动规律可以用函数s=s(t)描述,设Δt为时间改变量,在t0+Δt这段时间内,物体的位移(即位置)改变量是Δs=s(t0+Δt)-s(t0),那么位移改变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度v,即v=ΔsΔt=st0+Δt-st0Δt.2.由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法):(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)求平均变化率ΔyΔx;0ΔyΔx.→0ΔyΔx.第三章导数及其应用§3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念答案知识梳理1.fx2-fx1x2-x1limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx2.limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx导数f′(x0)y′|x=x0limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx作业设计1.A2.B[∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-2×12+1=4Δx+2(Δx)2,∴ΔyΔx=4Δx+2Δx2Δx=4+2Δx.]3.B[ΔyΔx=f3-f13-1=1-32=-1.]4.A[limΔx→0fx0-Δx-fx0Δx=limΔx→0-fx0-fx0-ΔxΔx=-limΔx→0fx0-fx0-ΔxΔx=-f′(x0).]5.B[∵ΔyΔx=f32+Δx-f32Δx=-Δx-3,∴limΔx→0ΔyΔx=-3.]6.A[∵ΔsΔt=st0+Δt-st0Δt=12aΔt+at0,∴limΔt→0ΔsΔt=at0.]7.0.418.1解析由平均变化率的几何意义知k=2-11-0=1.9.4+Δt4解析在[1,1+Δt]内的平均加速度为ΔvΔt=v1+Δt-v1Δt=Δt+4,t=1时的瞬时加速度是limΔt→0ΔvΔt=limΔt→0(Δt+4)=4.10.解函数f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为:f-1-f-3-1--3=[-12-2×-1]-[-32-2×-3]2=-6.函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为:f4-f24-2=42-2×4-22-2×22=4.11.解∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=11+Δx-11=1-1+Δx1+Δx=-Δx1+Δx·1+1+Δx,∴ΔyΔx=-11+Δx·1+1+Δx,∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0-11+Δx·1+1+Δx=-11+0·1+1+0=-12,∴y′|x=1=f′(1)=-12.12.2解析由导数的定义,得f′(0)=limΔx→0fΔx-f0Δx=limΔx→0aΔx2+bΔx+c-cΔx=limΔx→0[a·(Δx)+b]=b.又Δ=b2-4ac≤0a0,∴ac≥b24,∴c0.∴f1f′0=a+b+cb≥b+2acb≥2bb=2.13.解运动方程为s=12at2.因为Δs=12a(t0+Δt)2-12at20=at0Δt+12a(Δt)2,所以ΔsΔt=at0+12aΔt.所以0ΔvΔt=limΔt→0ΔsΔt=at0.由题意知,a=5×105m/s2,t0=1.6×10-3s,所以at0=8×102=800(m/s).即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.
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