人教a版数学选修11作业第三章导数及其应用章末检测b含答案

第三章章末检测(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1.已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)f′(xB)B．f′(xA)f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定2．任一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是()A．0B．3C．－2D．3－2t3．已知曲线y＝2ax2＋1过点(a，3)，则该曲线在该点处的切线方程为()A．y＝－4x－1B．y＝4x－1C．y＝4x－11D．y＝－4x＋74．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－3)x＋34上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A.0，π2B.0，π2∪2,3C.2,3D.0，2π35．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是()A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)6．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－27．已知a0，函数f(x)＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值为()A．1B．2C．3D．48．若函数f(x)＝asinx＋13cosx在x＝π3处有最值，那么a等于()A.33B．－33C.36D．－369．函数y＝x－sinx，x∈π2，π的最大值是()A．π－1B.π2－1C．πD．π＋110.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个11．函数f(x)＝x1－x的单调增区间是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)，(1，＋∞)D．(－∞，－1)，(1，＋∞)12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大利益()A．0.012B．0.024C．0.032D．0.036题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________________________________________________________________________.14．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于x∈[－1，1]，都有f(x)≥0，则实数a的值为________________________________________________________________________．15.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A、B在抛物线上运动，C、D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．16．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]．②f(x)的极值点有且只有一个．③f(x)的最大值与最小值之和等于零．其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23与x＝1时都取得极值．(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围．19.(12分)某大型商厦一年内需要购进电脑5000台，每台电脑的价格为4000元，每次订购电脑的其它费用为1600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60000元，则60000150×4000＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？20．(12分)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.(1)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；(2)设f(x)在[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．21.(12分)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.22．(12分)已知函数f(x)＝x2＋lnx.(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝23x3＋12x2的下方．第三章导数及其应用(B)答案1．B[f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f′(xA)f′(xB)．]2．B[物体的初速度即为t＝0时物体的瞬时速度，即函数s(t)在t＝0处的导数．s′(0)＝s′|t＝0＝(3－2t)|t＝0＝3.]3．B[∵曲线过点(a，3)，∴3＝2a2＋1，∴a＝1，∴切点为(1,3)．由导数定义可得y′＝4ax＝4x，∴该点处切线斜率为k＝4，∴切线方程为y－3＝4(x－1)，即y＝4x－1.]4．B5．B[f′(x)＝3x2＋a.令3x2＋a≥0，则a≥－3x2，x∈(1，＋∞)，∴a≥－3.]6．A[∵y′＝x′x＋2－xx＋2′x＋22＝2x＋22，∴k＝y′|x＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.]7．C8．A[f′(x)＝acosx－13sinx，由题意f′π3＝0，即a·12－13×32＝0，∴a＝33.]9．C[y′＝1－cosx≥0，所以y＝x－sinx在π2，π上为增函数．∴当x＝π时，ymax＝π.]10．A[由图象看，在图象与x轴的交点处左侧f′(x)0，右侧f′(x)0的点才满足题意，这样的点只有一个B点．]11．C[∵f′(x)＝x′1－x－x1－x′1－x2＝1－x＋x1－x2＝11－x20，又x≠1，∴f(x)的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]12．B[由题意知，存款量g(x)＝kx(k0)，银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，x∈(0，0.048)．设银行可获得收益为y，则y＝0.048kx－kx2.于是y′＝0.048k－2kx，令y′＝0，解得x＝0.024，依题意知y在x＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益．]13．3解析由切点(1，f(1))在切线y＝12x＋2上，得f(1)＝12×1＋2＝52.又∵f′(1)＝12，∴f′(1)＋f(1)＝12＋52＝3.14．4解析若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0，显然成立；当x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可转化为a≥3x2－1x3，设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝31－2xx4，所以g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减，因此g(x)max＝g12＝4，从而a≥4；当x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可转化为a≤3x2－1x3，设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝31－2xx4，所以g(x)在区间[－1,0)上单调递增．因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上所述，a＝4.15.439解析设CD＝x，则点C坐标为x2，0.点B坐标为x2，1－x22，∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·1－x22＝－x34＋x(x∈(0,2))．由f′(x)＝－34x2＋1＝0，得x1＝－23(舍)，x2＝23，∴x∈0，23时，f′(x)0，f(x)是递增的，x∈23，2时，f′(x)0，f(x)是递减的，当x＝23时，f(x)取最大值439.16．①③解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意得f(0)＝0，f′(－1)＝f′(1)＝tan3π4＝－1.∴c＝03－2a＋b＝－13＋2a＋b＝－1，∴a＝0，b＝－4，c＝0.∴f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]．故①正确．由f′(x)＝3x2－4＝0得x1＝－233，x2＝233.根据x1，x2分析f′(x)的符号、f(x)的单调性和极值点.x－2(－2，－233）－233(－233，233)233(233，2)2f′(x)＋0－0＋f(x)01639－16390∴x＝－233是极大值点也是最大值点．x＝233是极小值点也是最小值点．f(x)min＋f(x)max＝0.∴②错，③正确．17．解f′(x)＝x2－ax＋a－1，由题意知f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，且f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．由f′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0，即x2－1≤a(x－1)．∵x∈(1,4)，∴x－1∈(0,3)，∴a≥x2－1x－1＝x＋1.又∵x＋1∈(2,5)，∴a≥5，①由f′(x)≥0得x2－ax＋a－1≥0，即x2－1≥a(x－1)．∵x∈(6，＋∞)，∴x－10，∴a≤x2－1x－1＝x＋1.又∵x＋1∈(7，＋∞)，∴a≤7，②∵①②同时成立，∴5≤a≤7.经检验a＝5或a＝7都符合题意，∴所求a的取值范围为5≤a≤7.18．解(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由f′－23＝129－43a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0得a＝－12，b＝－2.f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，令f′(x)0，得x－23或x1，令f′(x)0，得－23x1.所以函数f(x)的递增区间是－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是－23，1.(2)f(x)＝x3－12x2－2x＋c，x∈[－1,2]，由(1)知，当x＝－23时，f－23＝2227＋c为极大值，而f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为最大值，要使f(x)c2，x∈[－1,2]恒成立，则只需要c2f(2)＝2＋c，得c－1或c2.19．解设每次订购电脑的台数为x，则开始库存量为x台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为12x台，所以每年的保管费用为12x·4000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为5000x·1600元，这样每年的总费用为5000x·1600＋12x·4000·10%元．令y＝5000x·1600＋12x·4000·10%，y′＝－1x2·5000·1600＋12·4000·10%.令y′＝0，解得x＝200(台)．也就是当x＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80000元．20．解(1)对函数f(x)求导数，得f′(x)＝(x2－2ax)ex＋(2x－2a)ex＝[x2＋2(1－a)x－2a]ex.令f′(x)＝0，得[x2＋2(1－a)x－2a]ex＝0，从而x2＋2(1－a)x－2a＝0.解得x1＝a－1－1＋a2，x2＝a－1＋1＋a2，其中x1x2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化如下表：x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值当f(x)在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取到极小值．当a≥0时，x1－1，x2≥0.f(x)在(x1，x2)为减函数，在(x